Метод бисекции и простой итерации решения уравнений с одним неизвестным
Ур. с одним неизвест. имеет след. общий вид ,(1), где
– ф., заданная на всей числовой оси или на конечном ее отр.
Теорема. Если ф. непрерывна на
и принимает на концах этого отр. знач. разных знаков, то ур. (1) имеет внутри отр. хотя бы один корень.
Док. Обозначим . Пусть построены отр.
, удовл. усл.1)
; 2)
;
3) .
Рассм. построение очередного отр. Найдем середину отр.
:
(2) и вычислим
. Если
, то утвержд. теоремы справедливо.
Пусть . Положим
, если
и
в противном случае. Очевидно выполнение равенства
(3). Т.к. последов.
не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел
. Из (3) следует, что и
. Поскольку
, то
. Отсюда и из непрерывности ф. получаем
. Теорема доказана.
Метод решения ур. (1), построенный при док-ве теоремы наз. методом бисекции или методом половинного деления отр.
Метод простой итерации.
Пусть на задано ур. в виде
. (4)
Метод простой итерации для ур. (4) имеет расчетную форм. . (5)
Теорема. Пусть ур. (4) имеет корень и существует такое
, что на отр.
производная ф.
существует, непрерывна и по модулю строго меньше единицы:
. Тогда метод простой итерации (5) сходится при
.
Методы хорд и касательных как частные случаи метода простой итерации.
Квадратический характер сходимости метода касательных (Ньютона). Пусть на задано ур. в виде
. (1) Будем считать, что на
ур. (1) имеет корень
и производные
непрерывны на отр. и сохраняют знак. Введем в рассм. ф.
, кот. непрер. на
и не обращ. на нем в нуль. При этих усл. ур.
(2) будет равносильно на
ур. (1). Ур. (2) имеет вид
, где
. Возьмем
. Тогда ур. (2) приобретает вид
. (3)
Запишем расчетные форм. метода простой итерации для ур. (3) . (4)
Построенный метод решения ур. (1) с расчетными форм. (4) наз. методом хорд.
Исследуем сходимость метода хорд. Проводя дифф. в (3), получаем . (5) Используя разложение в ряд Тейлора, имеем
. Положив в последнем равенстве
, выразим остаточ. член форм. Тейлора. После подстановки в (5) и применении к знаменателю в (5) формулу конечных приращений Лагранжа, получим
.
Отсюда имеем оценку , (6), где
. Оценка (6) показывает, что если взять
достаточно близким к корню
, то будет выполняться неравенство
. В силу непрерывности производной, существует
- окр. точки
отр.
, где выполняются усл. теоремы о сходимости метода простой итерации.
Возьмем теперь . Тогда ур. (2) приобретает вид
. (7)
Запишем расчетные форм. метода простой итерации для ур. (7) (8)
Построен. метод решения ур. с расчетными ф-ми (8) наз. методом Ньютона (касательных). Исследуем сх-ть метода Ньютона. Проводя диф-е в (7) получаем . Метод Ньютона имеет квадратич. хар-р сх-ти. Действительно, из (8) имеем
. (9) Используя разложение в ряд Тэйлора
находим
. Заменяя в (9) правую часть полученным выражением, приходим к формуле
и оценке
, где
.