Составные квадрат. форм. средних прямоугол., трапеций, парабол и оценка их погрешн

Как видно из выражения, погрешн. квадрат. форм. средних прямоугол. есть величина третьего порядка относительно длины отр. интегрир. Т.о., при большой длине отр. интегрир. погрешн. указан. квадрат. форм. также может быть большой.На введем равномерн. сетку с шагом . Интеграл по всему отр. равен сумме интегралов по частич. отр. Применяя квадрат. форм. средних прямоугол. в случае четного к частич. отр. , имеем

.

Полученную квадрат. форм. (1)наз. составной квадрат. форм. средних прямоугол.

Для погрешн. составной квадрат. форм. средних прямоугол. получаем

.

Учитывая, что и , отсюда следует искомое равенство . (2)

Используя квадрат. форм. трапеций при интегрир. по частич. отр. , имеем

Получен. квадрат. форм. (3)

наз. составной квадрат. форм. трапеций.

Для погрешн. составной квадрат. форм. трапеций получаем

.

Т.к. и , то искомая погрешн. представл. в виде . (4)

Применим теперь при четном n к интегрир. на частич. отр. квадрат. форм. парабол. Тогда

. Получ. квадр. форм. (5) наз. составной квадрат. форм. парабол (Симпсона).

Найдем выражение для погрешн. расчетной форм. (3).

Учитывая, что и , отсюда следует искомое равенство

Как видно из выражений, получ. для остаточ. членов , погрешн. составных квадрат. форм. можно сделать достаточно малой за счет выбора меньшего шага сетки h. При этом подынтеграл. ф. должна быть достаточно гладкой на .

 

Квадрат. форм. Гаусса

Опр. Говорят, что квадрат. форм.

(1)

имеет алгебраическую степень точности m, если она явл. точной для любого мног. степени m и существует мног. степени , для кот. квадрат. форм. не явл. точной.

Квадрат. форм. наивысшей алгебраической степени точности наз. квадрат. форм. Гаусса (при этом n считается фиксированным). Квадрат. правило имеет алгебраическую степень точности не ниже n тогда и только тогда, когда оно явл. интерполяц. Следовательно, коэфф. квадрат. правил Гаусса определ. форм.

. (2)

Т.о., остается найти оптимал. набор узлов, при кот. интерпол. квадрат. форм. будет иметь наивысшую алгебраическую степень точности. Последняя, равна .

Лемма. Если квадрат. правило (1) имеет алгебраическую степень точности , то мног. степени ортогонален с весом на любому мног. меньшей степени.

Д-во. Так как квадратурное правило (1) является точным для любого многочлена степени и ,то при имеем , что док-ет лемму.

Из леммы следует, что для построения квадрат. правила алгебраической степени точности необходимо найти мног. степени , кот. был бы ортогонален любому мног. меньшей степени.

ЛеммаЕсли почти всюду на , то приведенный мног. степени , ортогональный на с весом любому мног. меньшей степени, существует и явл. единств. При этом все его корни простые и находятся на .

ЛеммаЕсли узлами интерпол. квадрат. форм. (1) явл. нули ортогонального мног. , то квадрат. форм. точна для любого мног. степени .

Теорема. Если почти всюду на , то существует квадрат. правило (1) наивысшей алгебраической степени точности .

Д-во. Существов. квадрат. правила (1) алгебр. степени точности непосредственно следует из лемм. Остается доказать, что нельзя построить квадрат. правило (1), точное для любого мног. степени . Для мног. степени имеем знач. интеграла и знач. квадрат. суммы


19. Квадрат. форм. Гаусса с постоянной весовой ф.Рассм. интеграл , (1) где -достат. гладкая ф. Любой конечный отр. интегрир. линейным преобр. приводится к . Поскольку в данном случае весовая ф. , то квадрат. правило наивысшей алгебр. степени точности (2)существует. Его узлами явл. корни мн-на , ортогонального мн-нам меньшей степени с весом 1 на [-1;1].

Обозначим . Очевидно, и . Возьмем произвольный мног. степени . Используя услов. ортогональности и проводя интегрир. по частям, получим

.

Продолжая процесс интегрир. по частям получим

Отсюда для, следует, что . Используя произвольность мног. , последовательно получаем далее .

Т.о., мног. степени , производные кот. определ. форм. имеет корни , каждый кратности n. Следовательно, этот мног. представл. в виде . Для искомого ортогонального мног. в результате получим выражение .(3)

Ортогональные мног., определ. форм. (3) наз. мног. Лежандра. В случае выбора константы по правилу будут получаться приведенные мног. В практике вычислений для мног. Лежандра использ. форм. Родрига .(4)

При этом получается квадрат нормы и рекуррентная форм. .(5)

По форм.(3) находим . По форм. (4) находим . Отсюда определяем последовательно

и . Построим несколько квадрат. форм. Гаусса вида (2).

При из ур. получаем один корень , и один коэфф. . Приходим к квадрат. форм. , имеющей наивысшую алгебраическую степень точности 1.

При из ур. получаем два корня , и два коэфф. и . Приходим к квадрат. форм. , имеющей наивысшую алгебр-скую степень точности 3.

Форм. для вычисления коэфф. квадрат. форм. (2) может быть преобразована к виду (6)

При из ур. получаем три корня и три коэфф. и . Приходим к квадрат. форм. , имеющей наивысшую алгебраическую степень точности 5.