К_ Р и интерполяц. форм. Ньютона с конечными Р
Пусть ф. на
задана табл.
с равноотстоящими узлами
. К_Р
порядка k опред. рекуррентно через К_Р порядка k-1равенством
(1). Здесь К_Р нулевого порядка берутся равными знач.
ф. в узлах.
Лемма. РР в случае равноотстоящих узлов выраж. через К_Р по форм. (2).
В случае выбора в качестве узлов интерпол. табл. узлов формула Ньютона с Раздел.Р принимает вид
(3)
Заменим в ней РР конечн. в соотв. с (2). Получим
(4). В форм. (4) сделаем замену переменной по правилу
(4′). Форм. (4′) наз интерпол. форм. Ньютона для интерпол. в начале таблицы или для интерпол. вперед. Здесь имеется в виду, что при p = 0 первый узел интерпол. совп. с нач. узлом табл. и остал. интерпол. узлы распред. от него вниз (вперед) по таблице. В качестве узлов интерпол. возьмем теперь табл. узлы
. Так. инт. форм. Ньютона с РР примет вид
. (5)Т. к. РР явл. симметр. ф. своих аргументов, то по форм. (2) имеем
. (6)
Заменим в форм. (5) РР конечн. в соотв. с форм. (6). Получим .(7)
В форм. (7) сделаем замену перемен. по правилу :
(7′)
Форм. (7′) наз. инт. формулой Ньютона для инт-ия в конце табл. или для инт-ия назад. Здесь имеется в виду, что при первый узел инт-ии совпадает с последним узлом таблицы и остальные инт-ые узлы распол. от него вверх (назад) по таблице.
Зам. В кач. нач. узла инт-ии обычно выбир. табл. узел , ближайший к зад. знач. аргумента x. Далее выч.
. Если
, в качестве инт-ых берутся табл. узлы вниз от
и выч. провтор. по инт. форм. Ньютона (4′) для инт. в начале табл. В случ. когда
, в качестве инт. берутся табл. узлы вверх от
и вычисления проводятся по инт. формуле Ньютона (7′) для инт-ия в конце табл.
Составление таблиц.
Для заданной ф. требуется постр. на
табл.
. При этом постоянный шаг табл. h должен быть выбран так, чтобы таблица допускала инт-ию многочл. степени k с задан. точностью
. При решении поставленной задачи воспольз. полученной оценкой остаточн. члена ИМ Лагранжа степени k по узлам
:
,(1) где
,
. Т. о., шаг табл. h следует выбрать так, чтобы удовл. нерав.
.(2)Проведем замену переменного по прав.
. Такое нерав. (2) принимает вид
. Следов., искомое знач. шага табл. h должно удовл. нерав.
(3).Здесь предпол., что знач. аргум. x
отрезку инт-ии
. Итак, задача нахожд. искомого знач. шага табл. h сводится к задаче нахождения max ф.
на отрезке
.В случае линейной инт-ии k=1 имеем
. Решение ур.
дает
. Т.о., табл. допускает линейную инт-ию с заданной точн., если ее шаг удовл. нерав.
.(4)
Для ф. имеем
и при
можно взять h=0.002. В случае квадратичной интерполяции k= 2имеем
. Решение ур.
дает
.Получаем
. Т.о., табл. допускает квадратичную инт-ю с заданной точностью, если ее шаг удовл. нерав.
(5) Если при квадр-ой инт-ии выбирать узлы инт-ии так, чтобы табл. узел
был ближайшим к x,то будет выполн. нерав.
или
и при выборе шага нужно находить только
. Поскольку
, то ф.
на
монотонно убывает. Следов.,
. В резул. приходим к оценке шага табл.
.(6)Для ф.
имеем
и при
можно взять h= 0.02.Табл. ф. y=sinx, дополн. кв-ую инт-ию, требует для своего хранен. в 10 раз < объема памяти, чем табл. этой же ф., дополн. только лин-ую инт-ию.