Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами. ИМ Эрмита с узлами кратности 2
Общая задача интерполирования ОМ формулир. след. образом. Для ф. и набора попарно неравных узлов
требуется построить ОМ
по сист. ф.
так, чтобы знач. ОМ и его производных до определ. порядка в узлах совпадали с соотв. знач. ф. и ее производных:
.
Ограничимся рассмотр. здесь случая, когда , т.е., общей задачей интерпол. алгебраическими М. Для ф.
и набора попарно неравных узлов
требуется построить М
, удовлетв. условиям
.(1)
Рассм. разность , где
- ИМ Лагранжа для
по узлам
. Т.к.
при
, то
. (2)
Исходная задача сведена к построению М .
Продифф. равенство (2): . Для узлов
, в кот. заданы знач. произв.
отсюда имеем
. (3)
Дифф. равенство (2) дважды, получим
Отсюда для узлов
, в кот. заданы знач. произв.
, имеем
Далее, приходим к задаче постр. М
степени
, удовл. усл.
. (4)
Для построения М по услов. (4) применяем тот же прием, что и при построении М
по усл. (1). Повторяя процесс, приходим к задаче построения ИМ по его знач. в узлах, где в (1) задавались знач. старшей производной. Последняя задача решается единственным образом и, следовательно, искомый мн.
имеет степень
и является единственным.
Мн. , удовлетв. усл. (1), наз. мн. Эрмитадля ф.
по набору попарно неравных узлов
с соотв. кратностями
узлов.
Проведем построение мн. Эрмита для случая, когда все узлы имеют одинаковую кратность, равную двум. Усл. (1) при этом принимают вид
. (5)
Используя форм. (2) и (3), получим ;
.
Т.о., построен искомый ИМ Эрмита
. (6)
Проведем в выражении (6) алгебраические преобр. Учтем, что и
Тогда формула (6) примет вид
(7)
Рассм. выражение в фигурных скобках . Это мн. степени
. При этом
Следов., рассматриваемый мн. представляется в виде
. (8)
Полагая в (8) , имеем
и
. Из условия
находим
. Подставляя получ. выражения коэффициентов в (8), имеем
.
Заменим в (7) мн. в фигурных скобках найденным выражением, тогда для мн. Эрмита с узлами кратности 2 получим окончательное выражение
. (9)
12. Некорректность задачи численного диф-я в пр-ве ℂ. Примеры.Пусть ф.
задана на
табл. знач.
и надо найти приближ. знач. ее производной в некоторой точке этого отрезка.
Решение поставленной задачи можно провести с использованием ИМ Лагранжа порядка n, кот. приближает ф. с погрешн.
. Дифференцируя равенство
, (1)m раз имеем погрешность
. (2)
Т.о., производная мн. приближает производную ф.
с погрешн.
, т.е., приближенное равенство
(3)имеет погрешность
.
Покажем, что в общем случае малая разность между двумя ф. на отр. еще не означает, что малой будет и разность их производных на этом отр. В качестве примера рассм. ф. ℂ
и
. Найдем отклонение
от
. Расстоян. между этими ф. в пр. ℂ
равно
а расстояние между их производными в этом пр. . Некорректность в пр. ℂ задачи численного дифференц. заключ. в том, что из сходимости в этом пр. последовательности ф. не следует, что последовательность производных этих ф. также будет сходиться.
Примеры формул численного дифференцирования
В качестве примера рассм. использование для интерполирования в начале таблицы ИМ Ньютона:
.
Дифф. приближенное равенство будем иметь:
В случае
форм. приобретает вид
. Для второй производной получаем соотв.
и
.
Третья производная мн. третьей степени явл. константой .
При неравноотстоящих узлах для построения форм. численного дифференц. используются ИМ Лагранжа
и интерпол. форм. Ньютона с РР
.