Статич.моменты.Центр тяжести плоской фигуры

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной d для всех частей фигуры.

 

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность d. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием Dxi и высотой f2(x)-f1(x), где x, то масса полоски будет приближенно равна

(i = 1, 2, . ,n).

 

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

 

 

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

 

 

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d сократилось).

Св-ва неопр-ного интеграла

1)
По опред. 1 имеем:
(
f(x) 0
2) d( ,имеем
d(
f(x)
3) ,в справедливости этого св-ва можно убедиться,найдя диф-л от левой и правой частей:
d( ,согласно св-ву 2,
4) ,
находим произв-ю от левой части:
( dx)`=f1(x) f2(x) ,согласно св-ву 1.
Находим произв=ю от правой части:
( , производные левой и правой частей совпадают,след-но это рав-во верно
5) где а-постоянная,т.е.пост-ю можно выносить за знак интеграла.
Произв-я от левой части:(1 св-во)
Произв-я от правой части:
(a Произв-е от левой и правой частей совпадают,след-но равны интегралы,стоящие слева и справа.

Двойной интеграл в полярных коор-тах

Часный случай
I= =p
P=I
pdpd
Выражение pdpd являеться-элементом площади.

Таблица интегралов

1)
2) =
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)

Замена перем-ных в двойном интеграле

Рассмотрим
x=(u,v), y=(u,v)-однозначные переменные ф-ии имеющие непрерывные производные
Пусть также эта замена переменных переносит область плоскости Xoy в некатор область плоскости UoV.
Тогда справедлива след формула замена переменных интегрирован в двойном интеграле.
Где I- - определитель Якоби или якобеан перехода от x,y к u,v

Интегрирование методом замены прем-х