Знакопеременные ряды.Абсолютная и условная сх-сть

 

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема1. Если знакопеременный ряд таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то данный ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом.

45.1.Вычисление объёмов тел по площадям параллельных сечений

Теорема. Объем тела с допустимыми параллельными сечениями вычисляется по формуле (1)

Отрезок [а; b] точками

разобьем на п отрезков [хi—1 ; хi] длины

Пусть тi и Mi — наименьшее и наибольшее значения функции S(x) на отрезке
[хi—1 ; хi] .Плоскостями х = хi, где i = 1, 2, ..., п — 1, тело D разобьем на n слоев. Выделим i-й слой, соответствующий отрезку [хi—1 ; хi], и построим два цилиндра высрты Δхi :
один с основанием площади Mi , содержащий i-й слой, а другой с основанием площади тi , содержащийся в i-м слое (рис. 248).

Объемы этих цилиндров равны Mi Δхi и тi Δхi.

Произведя указанные построения для каждого слоя, получим два ступенчатых тела D'n и D"n таких, что D'n < D < D''n. Их объемы равны

Так как функция S(x) непрерывна, то V'n и V"n при п —> ∞ имеют один и тот же предел, равный .Следовательно, объем тела D вычисляется по формуле (1).

Интегральный признак сх-сти ряда.Ряд Дирихле.

80. Рядом Дирихле называется , где p – некоторые действительные числа.
Исследуем на сходимость этот ряд при помощи интегрального признака. Для этого рассмотрим несобственный интеграл.
при p<1 – сходится
при p>1 – расходится
p=1
ряд расходится.
Т.о. ряд Дирихле - сходится при p>1 и расходится при p<1
при - гармонический ряд расходится.  

46.1.Приближённые вычисления опр-ных интегралов