Вычисление опр-ных интегралов с пом.рядов
Для вычисления определенных интегралов 
Подинтегральную ф-цию разлагают в ряд Маклорена и в области равномерной сходимости возможно почленное интегрирование
35.1.Интеграл вида ∫R(sin²x¸cos²x)dx
1. Интегралы вида  , где  рациональная функция от u и v.
|
| Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью |
подстановки   , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии  .
|
| Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки. |
2. Подынтегральная функция  удовлетворяет условию
|
 (1)
|
| или условию |
 . (2)
|
Тогда можно использовать подстановку  ,  или  ,  соответственно.
|
3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию  . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени  и  В этом случае часто применяют замену переменной  , где или  , где .При этом, так как  или  ,то  . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул  и  .
|
35.2.Разложение в ряд ф-ции y=arcsinx и y=lg(1+x)
для всех 
1) 
;
;
;
при X=1 ряд тоже сходится 
36.1.Интеграл ∫sinmxcosnxdx
4. Вычисление интегралов вида  , где m и n ? целые числа.
|
| В этом случае полезно пользоваться следующими правилами: |
| А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку . Сравни с 1.
|
Б) если оба показателя m и n - четные положительные числа, то подынтегральную функцию преобразуют с помощью формул понижения степени:  ,  и 
|
| В) если число m+n является четным отрицательным числом, то можно сделать замену переменной или
|
| Г) если степени m и n отрицательны, то часто бывает полезным уменьшить степени с помощью основного тригонометрического тождества. |
| Примечание. В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путем интегрирования по частям.
|
Биномиальный ряд
степенной ряд вида
Биномиальный ряд, бесконечный ряд, являющийся обобщением формулы Ньютона бинома (1 + х) n на случай дробных и отрицательных показателей n:
Биномиальный ряд сходится: при —1 < x <1, если n < —1; при —1< x £ 1, если —1 < n < 0; при —1 £ x £ 1, если n > 0.