Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств
Важнейшим примером аффинного пространства является пространство . Положим
,
.
Для любых и
определим операцию
. Проверим выполнение аксиом:
;
положим
.
Тогда
Предположим, что существует вектор такой, что
. Пусть
. Значит,
. Так как
, то
и поэтому
. Следовательно,
– противоречие.
Таким образом, пространство с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится n-мерным аффинным или точечным пространством. Упорядоченные наборы из
чисел в зависимости от контекста рассматриваются либо как векторы, либо как точки, а операция складывания упорядоченных наборов, опять же в зависимости от контекста, рассматривается либо как сложение векторов, либо как откладывание вектора от точки.
В качестве системы координат в выбирают, как правило, следующую:
Эта система координат удобна тем, что в ней координаты точек и векторов совпадают с упорядоченными наборами, изображающими эти точки или векторы.
Введем в еще одну операцию. Скалярным произведением векторов
и
пространства
назовем число
.
Свойства скалярного произведения
1°.
2°.
3°.
4°. причем
Свойства 1° – 4° вы легко докажете в качестве упражнения исходя из определения скалярного произведения в .
Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).
Из свойства 4°скалярного произведения видно,что для любого вектора существует
. Это позволяет ввести в
понятие длины вектора.
Длиной вектора называется число
.
Очевидно, если , то
, т. е., как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).
Неравенство Коши – Буняковского:
, или
;
неравенство треугольника:
, или
.
Из неравенства Коши – Буняковского вытекает, что для всех ненулевых векторов пространства выполняется неравенство
, что дает возможность ввести понятие угла между векторами.
Углом между ненулевыми векторами и
пространства
называется угол
такой, что
Введем еще в понятие расстояния между точками.
Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число
. Если
, а
, то
.
Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.
Свойства расстояния
1°.
► ◄
2°.
►◄
3°. (неравенство треугольника).
►Вытекает из равенства и неравенства треугольника для векторов. ◄
Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством.
Таким образом, замечательное пространство – это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.
Вопрос 8