Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств
Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства
и
называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так:
.
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства
. Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Теорема 4.8.Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть и пусть
– изоморфизм. Выберем в
какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f,
единственный
такой, что
. Тогда, если
, то
. Значит, (4.28) – система образующих в
.
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность f]
[взаимная однозначность f ]
[линейная независимость (4.27)]
{(4.28) – линейно независима}.
Таким образом, (4.28) – базис в , а значит,
. ◄
Вопрос 25
Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности
Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства
и
называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так:
.
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства
. Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Теорема 4.9. Все n-мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n-мерное линейное пространство над полем Р.
►а) Докажем, что .
Выберем в какой-либо базис
. Тогда
:
. Обозначим
. Очевидно, отображение
– взаимно однозначное. Кроме того,
,
:
:
Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .
б) Пусть теперь и
– n-мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда
{ и
}
[симметричность]
{
и
и }
[транзитивность]
{
}.◄
Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n-мерным линейным пространством над полем Р является .
Вопрос 26
Линейные формы
Определение.Линейной формой на линейном пространстве над полем
называется линейный оператор
.
Мы уже знаем, что множество всех линейных форм на линейном пространстве
также является линейным пространством над тем же полем, что и
, относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство
будем называть сопряженным пространству
, и обозначать
, его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например,
).
Рассмотрим -мерное линейное пространство
и выберем в нем какой-либо базис:
. (4.37)
Пусть – произвольный вектор пространства
,
– линейная форма. Тогда
. (4.38)
Мы видим, что значение линейной формы для вектора зависит от его координат и некоторых чисел
, вовсе с вектором
не связанных. Обозначим
и назовем эти числа компонентами формы
в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так:
.
Выберем в ещё один базис
(4.39)
и обозначим компоненты линейной формы
в базисе (4.39).Тогда
=
= [определение матрицы перехода] =
=
= [линейность ] =
.
Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.
В пространстве линейных форм выберем
линейных форм
(4.40)
по следующему принципу:
,
т. е. форма принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного,
, для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.
{(4.40) линейно независима}.
Пусть теперь – произвольная линейная форма,
– ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим
. Тогда
Таким образом, =
, следовательно, система (4.40) в пространстве
является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств
и
называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы
в базисе (4.37) пространства
– это её координаты во взаимном базисе пространства
.
Вопрос 27