Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса

 

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(3.41)

и

. (3.42)

Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,

(3.43)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:

(3.44)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

(подчеркиваем, что это матрицы-строки)

.

Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что

. (3.45)

Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрица Т = , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).

 

Изменение координат вектора при изменении базиса:

 

Пусть в линейном пространстве по-прежнему заданы два базиса (3.46) и (3.47). Выберем в произвольный вектор . Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: и . Тогда

. (3.49)

Равенство (3.49) – это разложение вектора по базису (3.46), и поэтому в силу единственности координат вектора в данном базисе получаем

. (3.50)

Обозначим координатные столбцы вектора в базисах (3.46) и (3.47) соответственно ( , ). Тогда (3.50) равносильно равенству , из которого вытекает, что

. (3.51)

Формулы (3.50) и (3.51) показывают, как изменяются координаты вектора при изменении базиса. Равенство (3.51) можно доказать и так:

.

Таким образом, – координатный столбец вектора в базисе (3.46), поэтому он совпадает с .

 

Вопрос 15

Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение

Понятие отображения

 

Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).

 

 


Рис. 4.1

 

Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.

Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.

Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .

Отображение называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:

1. такой, что .

2.

или одному, эквивалентному им, третьему условию:

3. такой, что

Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.

Отображения и называются равными, если .

Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение такое, что (рис. 4.2).

 


Рис. 4.2

Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.

Примером произведения отображений является сложная функция.

Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения , и , то

.

uДля доказательства равенства отображений и нужно показать, что .

Итак, выберем произвольное . Тогда

; (4.1)

(4.2)

Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что : и поэтому, .t

Отображение называется обратным к отображению , если и (рис. 4.3).

 

 


Рис. 4.3

 

Вопрос 16