Умножение матрицы на число и сложение матриц
МАТРИЦЫ
Оглавление.
1. Определение матриц.
2. Квадратные матрицы.
3. Действия с матрицами
4. Ранг матрицы.
5. Обратная матрица.
Системы линейных уравнений.
А. Метод Гаусса.
6.б. Формулы Крамера.
6.в. Матричный метод.
Системы линейных уравнений общего вида.
Определение матриц
Прямоугольная таблица, содержащая строк и
столбцов, называется матрицей размера
.
Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца, в котором расположен этот элемент.
Матрицы обозначают буквами ,
,
и т. д. Например,
или сокращенно в виде
.
Две матрицы и
считаются равными, если равно число их строк и число столбцов и если равны элементы, стоящие на соответствующих местах этих матриц равны, то есть
, если
.
Часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы . Эта матрица называется транспонированной к
и обозначается через
.
Пусть дана матрица . Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
,
которая будет транспонированной по отношению к матрице .
Квадратные матрицы
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов, — порядком квадратной матрицы.
Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем ее левый верхний угол с правым нижним, т. е. совокупность элементов называется главной диагональю, а множество всех элементов, которые лежат на отрезке, соединяющем ее правый верхний угол с левым нижним, - побочной диагональю.
Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, которые находятся над главной диагональю или под главной диагональю, равны нулю, т. е. матрицы вида
,
являются треугольными. Матрица называется треугольной снизу, а матрица
— треугольной сверху.
Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы, которые находятся вне ее главной диагонали, равны .
.
Действия с матрицами
Умножение матрицы на число и сложение матриц
По определению, чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.
Пример 1. Умножить матрицу на число
Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц и
называется матрица
, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц
и
:
.
Пример 2. Сумма двух матриц
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через . Для любой матрицы
имеем
,
.
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) .
где ,
,
- матрицы,
,
- числа.
Произведение матриц
Произведение матрицы на матрицу
определено только в том случае, когда число столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
. В результате умножения получим матрицу
, у которой столько же строк, как у матрицы
, и столько же столбцов, как у матрицы
.
По определению элемент матрицы
равен сумме парных произведений элементов
строки матрицы
, на соответствующие элементы
столбца матрицы
.
Пример 3. Найти произведение матриц
и
.
Решение. Имеем: матрица размера
, матрица
размера
, тогда произведение
существует и элементы матрицы
равны
,
,
,
,
.
, а произведение
не существует.
Пример 4. Найти произведение матриц
,
Очевидно, что произведение матриц не обладает перестановочным свойством, т.е. некоммутативно. Если все-таки выполняется равенство , то матрицы
и
называются перестановочными.
Свойства произведения матриц:
1) , где
-число;
2) ;
3) ;
4) .
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы равны 1.
.
Свойство единичной матрицы: для любой квадратной матрицы
.
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу , порядка
. Если существует такая матрица
, что
, то говорят, что
обратима, а
называют обратной матрицей для матрицы
.
Определитель матрицы
Определителем квадратной матрицы называется число, которое обозначается как
или
и вычисляется при помощи следующих трех правил.
Правило 1. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Замечание: Определитель одноэлементной матрицы равен самому элементу.
Правило 2. Общий множитель элементов любой строки или столбца матрицы можно вынести за знак определителя.
Замечание: Определитель матрицы, у которой строка или столбец состоит только из нулей, равен .
Правило 3. Определитель матрицы не изменится, если к одной из строк (столбцов) матрицы прибавить другую строку (столбец) этой матрицы.