Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений имеет вид:
Здесь и
‑ заданные, а
‑ неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему в виде:
AX =B
где - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, которая называется матрицей системы,
,
- векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных
xj и из свободных членов bi.
Упорядоченная совокупность вещественных чисел
называется решением системы, если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных
каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество.
Система называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и совпадают, т.е.
.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда
. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных
; если
, то
уравнений являются следствиями остальных. Если
, то система является неопределенной.
Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:
Эти системы решаются одним из следующих способов:
1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным методом.
Пример 17. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:
.
Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу ; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:
,
.
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. . Для вычисления ранга расширенной матрицы
рассмотрим окаймляющий минор
,
значит, ранг расширенной матрицы . Поскольку
, то система несовместна.
А. Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных, данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Пример 18. Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
.
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
Из последнего уравнения находим . Подставляя это значение во второе уравнение, имеем
. Далее из первого уравнения получим
.
Б. Формулы Крамера
Назовем столбцы матрицы следующим образом: первый столбец -
, второй столбец -
, и т.д., последний столбец -
. Тогда матрицу
можно записать в виде
.
Составим дополнительных матриц:
,
, …,
,
и вычислим их определители и определитель исходной матрицы:
,
,
, …,
.
Тогда значения неизвестных вычисляются по формулам Крамера:
,
, …,
.
Правило Крамера дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по вышеприведенным формулам.
Если главный определитель системы и все вспомогательные определители
равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений.
Если главный определитель системы , а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Пример 19. Решить систему уравнений методом Крамера.
,
.
Тогда
,
,
.
Вычисляя определители этих матриц, получаем ,
,
,
.
И по формулам Крамера находим: ,
,
.
В. Матричный метод
Теперь, рассмотрим матричное уравнение . Если у матрицы
существует обратная матрица
, то, умножая матричное уравнение на
слева, получим:
.
По определению обратимости матрицы и по свойству единичной
, получаем:
.
Пример 20. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Имеем:
,
.
Вычислим определитель матрицы , разлагая по первой строке:
Значит, обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда решение системы получается умножением обратной матрицы на столбец свободных членов