Системы линейных уравнений общего вида

Если система уравнений оказалась совместной, т. е. матрицы и имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности ‑ a) , б) .

а) Если , то имеем независимых уравнений с неизвестными, причем определитель этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое, например, по формулам Крамера.

б) Если , то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные , которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

Ее можно решить относительно , так как определитель этой системы ( порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для . Таким образом, при имеем бесчисленное множество решений.

Система уравнений называется однородной, если все , т. е. она имеет вид:

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением . Пусть матрица системы имеет ранг .

Если , то нулевое решение будет единственным решением системы; при система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор ‑ столбец называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы ), если найдется такое число , что будет выполняться равенство .

Число называется собственным значением линейного преобразования (матрицы ), соответствующим вектору . Матрица имеет порядок .

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы перепишем равенство в виде , где - единичная матрица порядка или в координатной форме:

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение степени относительно неизвестной , которое называется характеристическим уравнением матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы .

Для нахождения собственных векторов матрицы в векторное уравнение или в соответствующую систему однородных уравнений нужно подставить найденные значения и решать обычным образом.

Пример 18. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

Решение. Будем находить ранги матриц и методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

.

Очевидно, что . Исходная система равносильна следующей системе, приведенной к ступенчатому виду:

Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

откуда , ‑ общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при , , . Вектор является частным решением данной системы.

Пример 19. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра .

Решение. Данной системе соответствует матрица

.

Имеем

следовательно, исходная система равносильна такой:

Отсюда видно, что система совместна только при . Общее решение в этом случае имеет вид:

, .

Пример 20. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется векторное равенство:

.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

Система приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы равен , значит однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого ( ). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

Имеем:

, , .

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, , . Тогда , , и мы получим соотношение

,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 21. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Вычислим определитель матрицы :

Итак, . Корни характеристического уравнения ‑ это числа и . Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы . Для нахождения собственных векторов матрицы подставим найденные значения в систему: при имеем систему линейных однородных уравнений

Следовательно, собственному значению отвечают собственные векторы вида (8, 8, -3, 15), где - любое отличное от нуля действительное число. При имеем:

,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

Поэтому собственному значению отвечают собственные векторы вида (0, 0,-1, 1), где - любое отличное от нуля действительное число.