Концентрация носителей заряда в полупроводнике
Электрические характеристики полупроводника прежде всего определяются концентрацией носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне.
Для расчета концентрации носителей заряда используются две функции.
Функция fn(E)– функция распределения, определяет вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией Ев зоне проводимости. Аналогично для дырок в валентной зоне – функция fp(e). В дальнейшем будем рассматривать функции для электронов. Аналогичный вид будут иметь функции и для дырок.
Для электронов вид функции:
функция распределения Ферми-Дирака.
Здесь: EF – энергия Ферми, физический смысл которой рассмотрен ниже. График этой функции при разных температурах представлен на рисунке.
При T=0К f(E) имеет вид ступеньки (рис.3.21):
при
,
при
>
.
Это говорит о том, что все уровни энергии с Е EF заняты электронами. Электронов с энергией Е > EF при T=0К нет. А отсюда следует, что EF – это максимальная энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля.
Если Т>0К, то происходит размытие ступеньки. Это говорит о том, что с увеличением температуры повышается вероятность заполнения электронами уровней с энергией Е>EF. Причем, при Е=EF f(E)=1/2. Отсюда следует определение энергии Ферми. При температуре T>0К энергия Ферми имеет смысл энергии уровня, вероятность заполнения которого электронами равна 1/2.
Если Е-ЕF≥kT, что выполняется в большинстве случаев, то в знаменателе функции fn(Е) можно пренебречь единицей и она переходит в функцию Максвелла-Больцмана:
Функция gn(E) – функция плотности квантовых состояний. Она выражает число квантовых состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в пределах разрешенной зоны.
Функция плотности квантовых состояний электрона в зоне проводимости имеет вид:
. (3.10)
где: V – объем кристалла, m*n – эффективная масса электрона, учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решеткой.
Из этих соотношений следует: плотность квантовых состояний или уровней энергии, например, в зоне проводимости возрастает с энергией пропорционально (рис.3.20).
Тогда концентрация электронов в зоне проводимости может быть определена как:
.
Аналогично можно определить концентрацию дырок в валентной зоне:
. (4.4)
Величина называется эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. NC является одной из важнейших характеристик полупроводникового кристалла. Ее значение для разных полупроводников приводится в справочниках. Для Si NC=2,8*1019 см -3.
Функция определяет вероятность заполнения электронами дна зоны проводимости.
Таким образом, концентрация электронов в зоне проводимости определяется произведением эффективного числа состояний в зоне проводимости на вероятность заполнения электронами дна зоны.
NV – эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны. Для Si NV=1,04*1019 см-3. Все, что было сказано относительно n0, относится и к р0.
Собственная концентрация
Носителей заряда.
Найдем собственную концентрацию носителей заряда ni:
Видно, что ni определяется исключительно параметрами полупроводника: NC, NV, Eg, а также температурой Т. Поскольку Eg и T входят в показатель экспоненты, то зависимость ni от этих величин очень сильная. Графически эта зависимость изображается следующим образом:
.
Видно, что зависимость lnni от обратной температуры отображается прямой, угол наклона которой определяется шириной запрещенной зоны полупроводника Eg(рис.4.4).
Еще раз вспомним, что равенство играет важную роль в теории полупроводников и полупроводниковых приборов.
Величина ni в Si при комнатной температуре T=300К примерно равна 1010 см-3. В Ge ni » 2,5*1013см-3. Число атомов твердого тела в 1см-3 » 1022. Таким образом, в Si один электрон зоны проводимости и одна дырка валентной зоны приходятся на 1012 атомов, в Ge на 109 атомов.