Тема 9. Вибіркове спостереження

 

Вибіркове спостереження – вид несуцільного спостере­ження, при якому обстежуються не всі елементи сукупності, що вив­чається, а лише певним чином дібрана їх частина.

Сукупність, з якої вибирають елементи для обстеження, називається генеральною, а сукупність, яку безпосередньо обстежують, – вибірковою.

Статис­тичні характеристики вибіркової сукупності розглядаються як оцін­ки відповідних характеристик генеральної сукупності.

Об'єктивною гарантією того, що вибірка репрезентує (представ­ляє) всю сукупність, є принцип ви­падковості вибору, який забезпечує всім елементам генеральної сукупнос­ті рівні можливості потрапити у вибірку.

Оскільки вибіркова сукупність не точно відтворює склад генеральної, то вибіркові оцінки не збігаються з відпо­відними характеристиками генеральної сукупності. Розбіжності між ними називають похибками репрезентативності: для серед­ньої – це різниця між генеральною та вибірковою середніми, для частки – різниця між генеральною і вибірковою частками тощо.

Розрізняють два типи оцінок параметрів генеральної сукупності – точкові та інтервальні.

Точкова оцінка – це значення параметра за даними вибірки: вибіркова середня або вибіркова частка р.

Інтервальна оцінка – це інтервал значень параметра, розрахований за даними вибірки для певної імовірності (довірчий інтервал).

Межі довірчого інтервалу визначають на основі точкової оцінки та граничної помилки вибірки ( ):

- для середнього значення ознаки:

 

 

,

 

де – середнє значення ознаки в генеральній сукупності;

– середнє значення ознаки у вибірці;

– гранична помилка вибірки для середнього значення.

 

- для частки ознаки:

 

 

,

 

де Р – частка ознаки в генеральній сукупності;

р – частка ознаки у вибірці;

– гранична помилка вибірки для частки.

 

Гранична помилка – найбільша помилка, яка може виникнути при заданій імовірності:

 

,

де – середня (стандартна помилка);

– коефіцієнт довіри для заданого рівня імовірності:

- для імовірності 0,683 = 1;

- для імовірності 0,954 = 2;

- для імовірності 0,997 = 3.

 

Можливі формули середньої помилки наведено в таблиці:

 

  Повторна вибірка Безповторна вибірка
Для середнього значення ознаки
Для частки ознаки

 

де – дисперсія (для частки обчислюється за формулою дисперсії альтернативної атрибутивної ознаки);

n – обсяг вибірки;

N – обсяг генеральної сукупності.

 

Під час проведення вибіркового спостереження визначають мінімальний обсяг вибірки, за якого вибіркові оцінки можуть репрезентувати основні властивості генеральної сукупності:

- для повторного відбору:

 

;

 

- для безповторного відбору:

 

.

 

 

1. За даними 10%-го безповторного вибіркового обстеження отримано такий розподіл робітників за стажем їх роботи:

 

Стаж роботи, років Кількість робітників, чол.
До 4
4–8
8–12
12 і більше
Разом

Визначити:

1) середній стаж роботи у вибірці,

2) межі довірчого інтервалу для середнього стажу роботи у генеральній сукупності (з імовірністю 0,954),

3) частку робітників у вибірці, стаж роботи яких не перевищує 8 років,

4) межі довірчого інтервалу для частки робітників у генеральній сукупності, стаж яких не перевищує 8 років (з імовірністю 0,954).

 

Всі необхідні обчислення виконати в таблиці:

 

Стаж роботи, років Кількість робітників, чол. ( f ) Середина інтервалу ( х ) х f  
До 4      
4–8      
8–12      
12 і більше      
Разом х    

 

1. Обчислити середнє значення стажу роботи у вибірці за формулою середньої арифметичної зваженої:

 

 

 

2. Межі довірчого інтервалу для середнього стажу роботи у генеральній сукупності обчислити на основі формули:

 

,

 

причому значення – з пункту 1,

– граничну помилку безповторної вибірки обчислити за формулою:

 

=

 

Для підстановки в наведену вище формулу невідоме значення дисперсії стажу роботи обчислити за формулою:

 

=

 

За виконаними розрахунками побудувати довірчий інтервал:

 

 

.

Висновок: з імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середній стаж роботи в генеральній сукупності знаходиться в межах від _______ років до ________ років.

3. Частку робітників у вибірці, стаж роботи яких не перевищує 8 років, знайти за формулою відносної величини структури як співвідношення кількості робітників перших двох груп та загальної кількості робітників:

 

 

 

 

4. Межі довірчого інтервалу для частки робітників у генеральній сукупності, стаж роботи яких не перевищує 8 років:

 

,

 

де Р – частка ознаки в генеральній сукупності;

р – частка ознаки у вибірці;

– гранична помилка вибірки для частки.

 

Визначити граничну помилку безповторної вибірки для частки ознаки:

 

,

 

де – коефіцієнт довіри для заданої імовірності. Для імовірності 0,997 = ____.

– дисперсія частки,

– обсяг вибірки = 68 робітників,

– частка вибірки. За умовою = 10 % = 0,1.

 

Спочатку дисперсію частки знайти за формулою дисперсії альтернативної атрибутивної ознаки:

 

 

 

 

=

 

На підставі виконаних розрахунків побудувати довірчий інтервал:

 

 

 

.

 

 

Висновок:з імовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка робітників, стаж роботи яких не перевищує 8 років, у генеральній сукупності знаходиться в межах від _______ до ________ .

2. Проведено 5 %-не вибіркове обстеження робітників заводу щодо їх заробітної плати. Одержано такий розподіл робітників:

 

Заробітна плата, грн Кількість робітників, чол.
До 1200
1200 – 1400
1400 – 1600
1600 – 1800
1800 і більше

 

З імовірністю 0,954 побудувати довірчі інтервали:

- для середнього розміру заробітної плати;

- для частки робітників, заробітна плата яких не перевищує 1400 грн.

 

Розв’язок задачі аналогічний розв’язку задачі № 1. Всі необхідні обчислення виконати в таблиці:

 

         
         
         
         
         
         
Разом        

 

Висновок:

 

 

3. З 3000 спеціалізованих магазинів необхідно відібрати певну їх кількість для визначення середньої кількості покупців на 1 магазин. Гранична помилка вибірки з імовірністю 0,954 становить 20 чол. за середньоквадратичного відхилення 45 чол. Визначити достатню чисельність вибірки.

 

 

Висновок: достатньо відібрати ____________ магазини.