Парные и частные коэффициенты корреляции, их свойства

Корреляционный анализ является одним из методов оценки взаимосвязи между переменными величинами на основе выборочных данных.

При построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности, что обеспечивает линейный характер связи между изучаемыми признаками.

Двумерная корреляционная модель

Изучается корреляционная зависимость между признаками и .

Построение двумерной корреляционной модели предполагает, что распределение двумерной случайной величины является нормальным, а независимая повторная выборка из генеральной совокупности - репрезентативной.

Плотность двумерного нормального закона распределения :

- парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между величинами и .

- математическое ожидание ;

- дисперсия ;

Замечание. Парный коэффициент корреляции является одним из самых распространенных способов измерения связи между случайными величинами.

Величина не имеет размерности и, следовательно, может быть использована для сопоставления различных статистических рядов. По мере приближения к единице условные дисперсии стремятся к нулю, что свидетельствует о меньшем рассеянии значений переменных относительно соответствующих линий регрессии и о более тесной связи между переменными. Значение свидетельствует о наличии функциональной линейной зависимости между рассматриваемыми признаками. Если , то линейная связь между и отсутствует, однако это не означает их вероятностную независимость. В этом случае не исключается возможность существования иной формы зависимости между переменными.

Частный коэффициент корреляции

где - определитель матрицы, получающейся из матрицы удалением -ой строки и -го столбца.

В случае трехмерной корреляционной модели для переменных можно определить три частных коэффициента корреляции. Частный коэффициент корреляции, например между и при фиксированном

служит показателем связи между переменными и независимо от влияния фиксируемой переменной .

Напомним, что парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между переменными и на фоне действия .

Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции, т.к. является коэффициентом корреляции для их условного двумерного распределения.

Если парный коэффициент корреляции между данными случайными величинами отличен от соответствующего частного коэффициента, то, следовательно, фиксированные величины усиливает (или ослабляют) взаимосвязь между изучаемыми переменными.

содержание