Интервальная оценка генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности
Пусть 
- независимая повторная выборка объема 
из генеральной совокупности 
с нормальным распределением вероятностей 
.
Доверительный интервал для математического ожидания (генеральной средней) 
при известной дисперсии 
Выбирается функция 
, имеющая распределение 
.
Следовательно, 
, где 
- функция Лапласа, т.е. функция распределения случайной величины 
не зависит от параметра .
Полагается, что 
.
Находятся 
и 
- квантили распределения уровней соответственно 
и 
:
; 
.
Из соотношения
вытекает, что
; 
.
Таким образом,
.
Поскольку 
- нечетная функция, то
.
Итак,
,
т.е. при известной дисперсии интервальная оценка математического ожидания заданной надежности 
представима в виде следующего двойного неравенства:
.
или (в других обозначениях)
.
Значение квантили 
может быть найдено:
Ø или по статистической таблице 1 (Значения функции Лапласа 
, где 
имеет стандартное нормальное распределение), исходя из соотношения:
,
Ø или с помощью встроенной в Microsoft Excel статистической функции НОРМСТОБР(вероятность):
= НОРМСТОБР( 
).
Точность оценки 
.
Доверительный интервал для математического ожидания (генеральной средней) при неизвестной дисперсии
Используется функция 
, где 
- несмещенная оценка 
при неизвестном .
Выбранная функция 
имеет не зависящее от параметра распределениеСтьюдента счисломстепеней свободы, равным 
.
Обозначим символами 
, 
квантили t-распределения уровней 
, 
, соответствующие надежности и числу степеней свободы, равному .
Неравенство 
выполняется с вероятностью , следовательно,
.
РаспределениеСтьюдента симметрично, следовательно,
.
Таким образом, при неизвестной дисперсии интервальная оценка математического ожидания определенной надежности имеет вид:
;
эквивалентная форма:
.
В других обозначениях (краткая запись)
;
эквивалентная форма:
.
Значение квантили 
может быть найдено:
Ø или по статистической таблице 2 (Значения функции 
, где случайная величина распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы, равным 
) на основании уравнения:
,
Ø или с помощью встроенной в Microsoft Excel статистической функции СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы), определяющей по значению вероятности 
значение квантили уровня 
для распределения Стьюдента с числом степеней свободы, равным 
:
=СТЬЮДРАСПОБР( 
; ).
Точность оценки 
.
Замечание
Как в случае известной, так и неизвестной дисперсии выборочное среднее 
является серединой доверительного интервала для математического ожидания . Длина интервала стремится к нулю при неограниченном увеличении объема выборки .
содержание