Определение точечной оценки (статистики) и основные требования, предъявляемые к точечной оценке (несмещенность, состоятельность, эффективность)
Точечная оценка в математической статистике - это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое оцениваемому параметру. Пусть - выборка из распределения, зависящего от параметра qÎ Q. Тогда статистику
называют точечной оценкой параметра
.
Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений , где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения
. Вероятность
получения в эксперименте некоторого результата
, лежащего в интервале
, где
- некоторая малая величина, равна соответствующему элементу вероятности
.
Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений как произведение этих вероятностей:
Если рассматривать Q и как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и
в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности
при каждом фиксированном ряде наблюдений
. При некоторых значениях
и
вероятность получения экспериментальных данных
достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.
Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок и
, при которых функция правдоподобия
достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель
не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки
и
истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.
Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Легко заметить, что среди всех линейных оценок истинного значения вида , где
- некоторые постоянные, именно среднее арифметическое
обращает в минимум дисперсию
. Поэтому для случая нормально распределенных случайных погрешностей оценки, получаемые методом наименьших квадратов, совпадают с оценками максимального правдоподобия.
Формально статистика может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра θ. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.
Свойства точечных оценок:
Оценка называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:
, где E обозначает математическое ожидание.
Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных точечных оценок.
Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности:
,
по вероятности при
.
содержание