Оценка характеристик стационарного временного ряда
Ряд 
именуется стационарным, если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями одного аргумента 
:
1) 
2) 
3) 
4) 
Ряд именуется нестационарным, если хотя бы одно условие 1-4 не выполняется.
основные характеристики временного ряда:
1) Математической ожидание ряда 
2) Дисперсия временного ряда 
3) Автоковариационная функция ряда
– функция двух аргументов 
при перестановке которых значения функций не меняются.
4) Автокорреляционная функция ряда
Оценки этих характеристик могут быть найдены по одной реализации этого ряда
1) Оценка математического ожидания:
2) Оценка дисперсии:
3) Оценка автоковариационной функции:
4) Оценка автокорреляционной функции:
50. Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.
Рассмотрим уровни ряда ut на отрезке [t;t+ τ] (ut, ut+1 , … , ut+ τ -1, ut+ τ)
Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов ut, … , ut+ τ-1 из уровней ut и ut+ τ. После этого рассмотрим ковариацию остатков ut и ut+ τ. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.
Ϭuu(p)(τ)= 
(2.10)
На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда
ρuu(p)(τ)= 
Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение
ρξξ(p)(τ)= ρξξ(τ)= 
Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации :
Оценить МНК параметры модели
1. 
2. Принять
оценкой ρuu(p)(τ) оценку βτ.
51. Модель AR(p) и её идентификация.
Авторегрессия первого порядка:
, 
,имеет смысл коэффициента корреляции уровней ряда в соседние моменты времени.
Автокорреляционная функция имеет уровни ρuu(i,j)=ρ|i-j|=ρτ и экспоненциально убывает с ростом лага τ
При ρ=0 ряд превращается в WN. Если ρ=1, то ряд становится нестационарным рядом, называющимся случайным блужданием.
Теорема позволяющая идентифицировать временной ряд AR(1):
Если utϵAR(1), то его частная автокорреляционная функция тождественно равна 0, при τ>1
ρuu(p)(τ)= 
Модель авторегрессии порядка р задается поведенческим уравнением:
ut=β1ut-1+ β2ut-2+…+ βput-p+ξt
Для модели AR(p) частная автокорреляционная функция авна 0 при 
.
52. Модель MA(q) и её идентификация.
Модель первого порядка:
Теорема. Если utϵMA(1) то
1) Ряд порожденный этой моделью является стационарным
2) E(ut)=0, Ϭu2=Ϭξ2(1+γ2)
3) Автокорреляционная функция ряда MA(1) имеет уравнение:
ρuu(τ)= 
Рекурсивное уравнение модели:
ut=γ1ξt-1+ γ 2ξt-2+…+ γ pξt-p+ξt
Теорема. Если utϵMA(q) то ρuu(τ)=0 при τ>q.
53. Оптимальный линейный алгоритм прогнозирования уровней стационарного временного ряда.
Пусть уровни ряда ut 
STS наблюдались в моменты времени t=1,2,…,n. Результаты этих наблюдений обозначим символами u1, u2,…,un. Расположим эти результаты в обратном порядке и будем интерпретировать такой набор как случайный вектор 
, т.е.
T=(un,..,u2,u1) (1).
Задача прогнозирования заключается в построении правила прогноза будущего уровня 
n+τ наблюдаемого ряда по его известным уровням (1), следовательно n+τ есть значение некоторой функции f наблюдаемых уровней (1):
n+τ=f (u1, u2,…,un). (2)
Прогноз будет являться оптимальным, если он удовлетворяет требованиям, предъявляемым к статистическим процедурам:
(3)
Прогнозный алгоритм оптимальный в множестве всех функций аргумента- это условное математическое ожидание :
u1, u2,…,un). (4)
Пусть временной ряд ut STS является гауссовским, т .е. его уровни образуют нормально распределенный случайный вектор
T=( u1, u2,…,un,…,ut+τ,…,uN). (5)
Вектор наблюдений (1) роль объясняющего вектора 
, поэтому
(6)
Здесь 
Будущий уровень ряда n+τ интерпретируем как вектор 
. Так что 
.
Ковариационная матрица 
. Находим матрицу 
= 
T.
Тогда оптимальный алгоритм прогнозирования уровней гауссовского стационарного временного ряда принимает вид
u1, u2,…,un)= 
T 
(7)
Алгоритм (7) является линейным. Действительно, проведя перегруппировку членов в правой части равенства (7), увидим, что
a0+a1un+a2un-1+…+anu1.
54. Модели нестационарных временных рядов. Идентификация модели тренда.
a) Аддитивная модель временного ряда имеет следующую спецификацию
(1)
Алгоритм выбора тренда T(t) в модели (1):
1. Наблюдаем уровни ряда yt, для которого создаем модель (1)
2. Из наблюдаемых уровней отбираем уровни базовых периодов. Пусть отобрано m уровней базовых периодов: y1, y2,…,ym. (2)
3. Вычисляем по уровням (2) при τ=1,2,…,m-1 разности Δyτ=yτ+1-yτ
4. Задаваясь значениями τ=1,2,… и Δτ=1, вычисляем значения индикаторов функции тренда:
I1(τ)=Δ(2)yτ=Δyτ+1-Δyτ
I2(τ)= Δ(3)yτ=ΔI1(τ)=I1(τ+1)-I1(τ)
I3(τ)=Δ( 
)= 
I4(τ)=Δ( 
I5(τ)=Δ(τΔyτ)=(τ+1)Δyτ+1-τΔyτ
I6(τ)=Δ(2)( 
5. Отмечаем те индикаторы, значения которых в ответ на изменение переменной τ, колеблются вокруг нуля. По данному индикатору выбираем соответствующую функцию тренда T(t) (наиболее простую):
- для I1- линейная
-для I2-парабола второго порядка
- для I3-показательная
- для I4-степенная
- для I5-логарифмическая
- для I6- логистическая
b) Модель броуновского движения
Временной ряд yt обладает следующими характеристиками
my(t)=y0, σy2=σξ2t, σyy(I,j)= σξ2min(I,j)
55. Оценивание линейной модели с автокоррелированным остатком AR(1) алгоритмом Хильдретта – Лу.
Модель AR(1) имеет следующую спецификацию:
t, t-1 
уравнение модели запишем в идее: 
1. Задаемся на промежутке [0,1) набором пробных значений 
по правилу
(1)
где N-некоторое натуральное число
2. При каждом значении (1) составляем систему уравнений наблюдений
И вычислим на основании этой системы МНК-оценки 
, 
3. Выбираем из множества пробных значений (1) такую величину 
, при которой имеет место экстремум 
.
Выбранные величины и будут искомыми оценками параметров модели AR(1)
56. Проблема мультиколлинеарности, типы и симптомы мультиколлинеарности. Методика отбора регрессоров в линейной модели в ситуации мультиколлинеарности.
Мультиколлинеарность- ситуация, в которой в уравнениях наблюдений столбцы матрицы X становятся практически линейно зависимыми, что входит в противоречии с исходной предпосылкой теоремы Гаусса-Маркова. В ситуации мультиколлинеарности оценки параметров линейной регрессионной модели становятся ненадежными.
В условиях мультиколлинеарности текущий уровень ряда, как правило, может быть во многом объяснен предыдущими значениями
xt≈c0+c1xt-1+c2xt-2 (1)
Если (1) превращается в точное равенство, возникает ситуация совершенной мультиколлинеарности.
Симптомы:
а) резкое изменение значений оценок модели при незначительной вариации состава обучающей выборки;
б) наличие в оцененной модели небольших по модулю значений 
при достаточно высоком значении коэф-та детерминации;
в) большое значение коэф-та детерминации между каждой объясняющей пер-ой линейной модели и ее остальными объясняющими пер-ми.