Понятие о разрешимости уравнений в радикалах
Поле алгебраических чисел и его замкнутость
Обозначим через – множество всех чисел, алгебраических относительно поля
. Ясно, что
, точно также любое простое ( а, следовательно, и составное ) алгебраическое расширение поля
является подмножеством множества
.
Теорема 1. Множество всех чисел, алгебраических относительно поля
, является подполем поля
.
Доказательство. Пусть и
- любые элементы множества
. Так как
и
является полем , что
,
Это значит, что
замкнуто относительно вычитания и деления, т.е. подполем поля
.
Определение. Множество всех чисел, алгебраических относительно поля , называется полем алгебраических чисел над полем
. Если
, то это множество называют просто полем алгебраических чисел.
Теорема 3. Если над полем существует неприводимый многочлен любой степени ( как, например, над полем
), то поле
алгебраических над полем
чисел не является конечным расширением поля
.
Действительно, предположим, что является конечным расширением поля
степени
. Точка для любого числа
из
система
линейно зависима в
над
и, следовательно, степень
не превышает
. Но это означает, что все многочлены степени
приводимы в кольце
: получили противоречие.
Следствие. Поле алгебраических чисел – бесконечномерное пространство над полем . Если же над полем
существуют неприводимые многочлены степени
, а все многочлены степени
приводимы, то этого утверждать уже нельзя. Например, поле
является полем алгебраических чисел над полем
. В тоже время
– простое алгебраическое расширение поля
(
), причем размерность
над полем
равна 2.
Теорема 2. Поле алгебраических над полем
чисел алгебраически замкнуто, т.е. все корни многочлена степени
из кольца
принадлежат полю
.
Доказательство. Пусть – любой многочлен из кольца
,
- любой корень этого многочлена. Требуется доказать, что
.
Очевидно, что
, а число
- алгебраично над полем
. Но тогда
и, следовательно,
.
Заметим, что здесь использовался тот факт, что при определении составного алгебраического расширения не требуется алгебраичность над полем
.
В связи с теоремой 2 полезно подчеркнуть, что , а алгебраическая замкнутость поля
доказывалась и ранее – она вытекает из основной теоремы алгебры.
Упражнения.
1. Привести пример такого поля , что поле
алгебраично над полем
чисел является конечным расширением поля
.
2. Доказать: если – наивысшая степень неприводимых в кольце
многочленов, то
является конечным расширением поля
степени
.
3. Доказать, что поле алгебраических чисел счетно.
Понятие о разрешимости уравнений в радикалах.
Определение 1. Говорят, что число выражается в радикалах (в квадратных радикалах) через числовое множество
, если
можно представить через элементы множества
с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций извлечения корня (квадратного корня).
Например, число , где имеются в виду арифметические корни, выражается в радикалах через множество
. Так как это число представлено в виде
, то оно выражается даже в квадратных радикалах через множество
.
Заметим, что операция извлечения корня неоднозначна и поэтому разные числа могут одинаково выражаться в радикалах через одно и тоже множество
Например, все три корня кубического уравнения одинаково выражаются в радикалах через коэффициенты по формуле Кардано.
Укажем некоторые свойства понятия выражения в радикалах.
1. Всякое число из множества выражается в радикалах множество
. Например, число
выражается в радикалах через множество
.
2. Каждое рациональное выражается в радикалах через любое множество .
Например, число выражается через множество
в виде
Заметим, что в выражении чисел и
через множество
операция извлечения корня не используется. В таких случаях говорят, что число выражается через множество
рационально.
3. Если выражается в радикалах через множество
, а каждый элемент из
, выражается в радикалах через множество
, то
– выражается в радикалах через
.
4. Если выражается в радикалах через множество
и
, то
выражается в радикалах через
.
5. Число выражается в радикалах через конечное множество
тогда и только тогда, когда
выражается в радикалах через поле
.
Свойства 1-4 очевидны, докажем свойство 5.
Если выражается в радикалах через множество
, то тоже в силу свойства 4 выражается в радикалах и через множество
, содержащее подмножество
. Обратно, пусть
выражается в радикалах через поле
. Согласно теореме 2 §6 и свойству 2 каждый элемент из поля
выражается в радикалах (и даже рационально) через множество
. Но тогда по свойству 3 и число
выражается в радикалах через множество
.
Свойства 1-5 будут справедливы и в том случае, когда всюду слово « выражается в радикалах» заменить словами « выражается в квадратных радикалах»
Напомним, что поле является подполем любого числового поля. Поэтому составное расширение можно определить и иначе: это есть пересечение всех числовых полей, содержащих подмножество
.
Определение 2. Уравнение
(1)
называется разрешимым в радикалах (в квадратных радикалах) если каждый корень этого уравнения выражается в радикалах (в квадратных радикалах) через множество .
Определение 3.Составное расширение называется областью рациональности уравнения (1).
Из свойства 5 вытекает следующая теорема.
Теорема 1. Уравнение (1) разрешимо в радикалах (в квадратных радикалах) тогда и только тогда, когда каждый корень этого уравнения выражается в радикалах (в квадратных радикалах) через область рациональности этого уравнения.
Ясно, что линейные, квадратные и биквадратные уравнения разрешимы только в радикалах, но и в квадратных радикалах. Уравнения 3 и 4-ой степени разрешимы в радикалах, но не всегда разрешимы в квадратных радикалах. Вопрос о разрешимости в радикалах уравнений выше 4-й степени оказался весьма трудным. Только в начале ХХ1 века норвежский математик Н.АБЕЛЬ (1802-1829 г.г.) установил, что для уравнения 5 степени не существует формулы, подобной формуле КАРДАНА для уравнений 3-ей степени, которая бы выражала корни данного уравнения через коэффициенты. Значительно дальше продвинулся в этом направлении французский математик Э.ГАЛУА (1811-1832г.г.) Используя понятие группы, он исследовал условия разрешимости в радикалах уравнений выше 4-ой степени.