Построение правильных многоугольников
Задача о построении правильного -угольника равносильна задачи о делении окружности на
равных частей. Если выбрать систему координат так, что начало координат, лежит в центре окружности, а точка (1,0) на окружности, то задача сводится к построению корней уравнения
,
причем исходным полем является поле рациональных чисел.
Построение правильных -угольников при
=3,4,6 затруднений не вызывает. Ясно также, как построить правильный 2
-угольник, если задан или построен правильный
-угольник; это задача сводится к делению дуги или хорды пополам.
Рассмотрим задачу о построении правильного пятиугольника. Как отмечалось выше, эта задача равносильна задаче построения корней уравнения .
Так как , то вопрос сводится к построению корней уравнения
(1)
Запишем это уравнение в виде
И положим . Тогда
и решение уравнения (1) сводится к последовательному решению уравнения
(2)
а затем квадратных уравнений
,
где – оба корня уравнения (2).
Отсюда видно, что уравнения (1) разрешимо в квадратных радикалах и согласно Т2 § 11 все его корни можно построить циркулем и линейкой. Ясен также и путь построения: сначала построить корни
уравнения (2), а затем по имеющимся точкам и
строить корни уравнений
,
.
Рассмотрим теперь случай . Здесь вопрос сводится к построению корней уравнения
(3)
Та же постановка дает
,
и решение уравнения (3) сводится к решению уравнения
, (4)
а затем к решению уравнений
(5)
где – корни уравнения (4).
Уравнение (4) не имеет рациональных корней; поэтому многочлен неприводим над полем
- алгебраические числа степени 3. В силу теоремы 1 § 11,
построить невозможно. Но тогда и корни уравнения (3) тоже построить невозможно. В самом деле, если бы удалось построить корень
уравнения (3), то для одного из корней
имели бы место
,
а это означало бы, что корень уравнения (4) тоже можно построить.
Мы доказали невозможность построения циркулем и линейкой правильного семиугольника. Если имеет взаимно простые делители, то вопрос о возможности построения правильного
-угольника сводится к вопросу о возможности правильных многоугольников с меньшим числом сторон.
Теорема 1. Если и числа
и
взаимно просты, то окружность можно разделить циркулем и линейкой на
равных частей, тогда и только тогда, когда она делится циркулем и линейкой и на
и на
равных частей.
Доказательство. Если окружность разделена на равных частей, то построен угол
. Но тогда можно построить угол
, и тем самым разделить окружность на
равных частей, а также угол
и тем самым разделить окружность на
равных частей.
Обратно, пусть окружность разделена и на ; и на
– равных частей. Так как
то существуют целые числа
и
, что
.
Отсюда или
.
Последнее равенство показывает – как, имея углы и
построить угол
, т.е. разделить окружность на
равных частей.
Мы рассматривали здесь некоторые частные случаи в задаче построения правильных многоугольников. Однако еще в начале прошлого века знаменитый математик К.ГАУСС дал полное решение этой задачи. Мы приведем его результаты без доказательства.
Все простые числа в последовательности ,
… называются простыми числами ФЕРМА. Сам Ферма показал, что все числа в этой последовательности являются простыми. Оказалось же, что уже при
получается составное число. В настоящее время известно только 5 простых чисел Ферма, являющимися первыми пятью членами последовательности
. Это число 3,5,17,257 и 65537. Одно из замечательных свойств простых чисел Ферма и составляет содержание основной теоремы Гаусса.
Теорема 2. Если - простое нечетное число, то правильный
-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда
является простым числом Ферма. Правильный
-угольник , где
– простое число и
построить невозможно. Из этой теоремы вытекает, например, возможность построения правильных
-угольников при
= 3,5,257,65537 и невозможность при
=7,8,11,13,25,125 и т.д. и мы здесь его не приводим. На основании этой теоремы уже без труда доказывается более общий результат, который дает полное решение поставленной задачи.
Теорема 3. Правильный -угольник, можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда разложение числа
на простые сомножители имеет вид
,
где – различные простые числа Ферма.
Доказательство. Множитель в разложении числа
не влияет на разрешимость задачи; поэтому достаточно доказать теорему 3 для нечетного числа
.
Пусть , где
– различные простые числа Ферма. Согласно теореме 2 можно построить правильный
-угольник при каждом
. Но тогда в силу теоремы 1 можно построить и правильный
- угольник.
Обратно, если можно построить правильные -угольники
,
где – нечетные простые числа, то в силу теоремы 1 можно построить правильный
- угольник при каждом
, а это означает согласно теореме 2, что при каждом
имеем
,
– простое число Ферма.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
В настоящее время построены все известные многоугольники, число сторон которых есть простое число Ферма. 257-угольник построил Ришело (80 стр. текста), а 65537-угольник – Гермес (рукопись занимает огромный чемодан, который хранится в Гёттингенском университете). Способ построения тот же, который использовал Гаусс для построения 17-угольника.
Гаусс, сделавший много крупных открытий в самых различных областях математики, очень ценил свою первую научную работу о 17-угольнике, которую он выполнил в 1796г (через 5лет дал полное решение задачи о возможности построения правильного многоугольника циркулем и линейкой). Памятник, воздвигнутый на его могиле в Гёттингене, находится на пьедестале, имеющем форму 17-угольной призмы.