Числа, допускающие построение циркулем и линейкой
Будем считать, что построения проводятся на выбранной раз и навсегда плоскости. Обычно задачи на построение в конечном счете сводятся к построению конечного числа точек, исходя из заданной совокупности конечного числа точек. Например, в задаче о трисекции угла задан угол, для чего достаточно задать три точки – вершину и две точки на сторонах; требуется разделить угол на три равные части, а для этого достаточно построить две точки, через которые проходят стороны, делящие угол.
Именно о таких задачах на построение циркулем и линейкой и пойдет речь в дальнейшем. При этом мы совершенно не будем говорить о методах построений – это вопрос чисто геометрический. Наша задача – выяснить, какие точки можно строить циркулем и линейкой, исходя из заданного конечного множества точек.
Выберем на плоскости произвольно прямоугольную декартову систему координат. Тогда каждая точка изображает комплексное число
, и обычно множество точек плоскости отождествляют с множеством комплексных чисел. Если под сложением и умножением точек подразумевать сложение и умножение соответствующих чисел, то плоскость можно отождествлять даже с полем комплексных чисел, а поставленная задача может быть сформулирована в алгебраической форме: какие числа можно построить циркулем и линейкой на основании данного множества чисел.
Пусть - заданное множество чисел, а
- есть наименьшее по включению числовое поле, содержащее множество
и все числа, сопряженные с числами этого множества. Это поле будем называть исходным полем множества
Основной результат формулируется в виде следующей теоремы:
Теорема. Комплексное число допускает построение циркулем и линейкой исходя из заданного множества чисел
тогда и только тогда, когда
принадлежит исходному полю
или некоторому пифагорову расширению этого поля.
Доказательство. Если задано множество , то легко также строятся сопряженные числа, так, что все числа множества
будем считать известными.
В силу теоремы 2 § 4 каждое число исходного поля получается с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления
. Поэтому для доказательства возможности построения любого числа из поля
достаточно доказать следующий результат: если известны (то есть заданы или построены) два числа –
и
, то можно построить также числа –
.
Для построения точки ( ) достаточно провести прямую через О и
и циркулем отложить отрезок от О до
по другую сторону от точки О (рис.1)
![]() |
O
О
О
рис.1 рис. 2 рис. 3
Если точки О, ,
, не лежат на одной прямой, то для построения точки
надо через точку
провести прямую, параллельную прямой O
, пересечение этих прямых и будет точкой
(рис.2) Если же точки О,
,
лежат на одной прямой, то задача сводится к откладыванию заданных отрезков на этой прямой.
Пусть
,где
,
.
Тогда
.
Для построения точки достаточно построить аргумент и модуль числа
. Для нахождения аргумента достаточно провести прямую
(рис.3), а построение модуля
– это построение четвертого пропорционального чисел
, 1, 1; такая задача рассматривалась в школьном курсе математики.
Если ,
, то
.
Аргумент числа
строится путем последовательного откладывания углов
, а модуль
является четвертым пропорциональным чисел 1,
,
.
Итак, любое число исходного поля можно построить циркулем и линейкой.
rp
Пусть теперь , где
,
. Тогда
, где
и построение числа
сводится к построению
. Поскольку
, то мы считаем точку
уже построенной. Если
, то
. Для построения аргумента
числа
достаточно разделить угол
пополам, что выполнимо циркулем и линейкой. Для построения же модуля
надо построить среднее геометрическое чисел 1 и
; эта задача также рассматривается в школьном курсе геометрии.
![]() |
1
Таким образом, любое число из простого пифагорова расширения можно построить циркулем и линейкой. Пусть теперь
любое пифагорово расширение поля
. Индукцией по
докажем, что любое число этого поля можно построить. При
это утверждение уже доказано. Предположим, что оно верно, для
, т.е. любое число из поля
допускает построение. Но так как
есть простое пифагорово расширение поля
, то согласно доказанному и любое число из
допускает построение. Значит, наше утверждение верно при любом натуральном значении
.
Теперь докажем, что всякое число, допускающее построение циркулем и линейкой, принадлежит исходному полю или некоторому пифагорову расширению этого поля.
Отметим, что циркулем и линейкой можно выполнять две операции: проводить прямую через две уже имеющиеся точки и строить окружность с центром имеющейся точке и проходящую через имеющуюся точку. Новые же точки могут быть получены в результате
пересечения таких прямых и окружностей.
Прямая, проходящая через точки ,
имеет уравнение
или
где числа рационально выражаются через числа
.
Окружность с центром в точке , проходящая через точку
, имеет уравнение
,
где .
Пусть числа принадлежат исходному полю
. Тогда в силу равенств
,
,
Заключаем, что действительные числа и
принадлежат полю
, где
, если
и
, если
.
Отсюда заключаем, что коэффициенты уравнений прямых и окружностей с центрами в заданных точках, которые проходят через заданные точки, принадлежат полю .
Пусть точка получена при первом шаге построения циркулем и линейкой. Тогда
есть решение одной из следующих систем уравнений с коэффициентами из поля
:
(1)
(2)
(3)
Если есть решение системы (1), то
, а, следовательно, и
. Решение двух других систем сводится к решению квадратных уравнений с коэффициентами из поля
. Если
- дискриминант такого квадратного уравнения и
, то
, следовательно, и число
принадлежит полю
. Если же
, то
принадлежит простому пифагорову расширению
, которое в силу определения
, является также пифагоровым расширением поля
.
Итак, точка , полученная при первом шаге построения на основании заданного множества чисел
, принадлежит полю
, которое либо совпадает с
, либо является его пифагоровым расширением. При следующем шаге построения получится новая точка, являющаяся решением одной из систем (1) – (3) с коэффициентами уже из поля
. Согласно доказанному новая точка принадлежит либо полю
, либо его пифагорову расширению, которое является также пифагоровым расширением исходного поля
. Таким образом, и при втором шаге построения получается точка, принадлежащая либо исходному полю
, либо его пифагорому расширению. Вполне понятно, что и любая точка
, построенная после любого конечного числа шагов, принадлежит либо полю
, либо некоторому пифагорову расширению этого поля.
![]() | |||
![]() | |||
, а т.к.
,