ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Пусть aÎR или a = ±¥.
Число A = называется пределом функции f при стремлении x к a, если для любой окрестности U (A,e) существует проколотая окрестность точки a
(a, d), для каждой точки x из которой выполняется условие f(x) Î U (A,e):
![]() |
" U (A,e) $


Замечание. Для того чтобы можно было говорить о пределе функции f(x) при x ® a, необходимо чтобы функция f(x) была определена в некоторой проколотой окрестности точки a. Предел последовательности можно рассматривать только при n ® ¥, так как любая окрестность U(+¥, d) точки +¥ содержит все натуральные числа n > d, и, следовательно, последовательность определена в этой окрестности, а для любой конечной точки а можно найти достаточно малую окрестность, которая не содержит ни одного натурального числа.
Рассмотрим, как можно сформулировать определение предела функции на языке неравенств.
Заметим, что все окрестности (a, d) точки а отличаются друг от друга только величиной d, а все окрестности U (A,e) точки А— величиной e.
Пусть = А ¹ ± ¥, то есть а = х0 ¹ ± ¥ и А ¹ ± ¥.
В этом случае определение предела
" U (A,e) $ (x0, d): (x Î
(x0, d) Þ f(x) Î U (A,e))
можно переписать в виде
" e > 0 $ d > 0: (0 ¹ |x – x0| < d Þ |f(x) – A| < e).
Если = А ¹ ± ¥, то есть а = + ¥ и А ¹ ± ¥, получаем
" e > 0 $ d > 0: (x > d Þ |f(x) – A| < e).
Если и = +¥, то есть а = – ¥ и A = +¥, получаем
" e > 0 $ d > 0: (x < – d Þ f(x) > e).
В качестве упражнений получите определение предела функции на языке неравенств для случаев: а = х0, А = ± ¥; а = + ¥, А = ± ¥; а = – ¥, А ¹ ± ¥, А = – ¥.
Если в определении предела вместо проколотой окрестности (a, d) использовать односторонние окрестности
(x0 + 0, d) или
(x0 – 0, d), получим определения односторонних пределов.
Число A = называется правосторонним пределом или пределом функции f(x) в точке x0 справа, если для любой окрестности U (A,e) существует правостточки x из которой выполняется условие f(x) Î U (A,e):
" U (A,e) $ ( x0 + 0, d): (x Î
( x0 + 0, d) Þ f(x) Î U (A,e)).
Число A = называется левосторонним пределом или пределом функции f(x) в точке x0 слева, если для любой окрестности U (A,e) существует левосторонняя окрестность точки x0
( x0 – 0, d), для каждой точки x из которой выполняется условие f(x) Î U (A,e):
" U (A,e) $ ( x0 – 0, d): (x Î
( x0 – 0, d) Þ f(x) Î U (A,e)).
,
.
ТЕОРЕМА. Критерий существования предела.
Для того чтобы функция f (x) имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали ее конечные односторонние пределы, равные между собой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть существует = А. Докажем, что существуют
и
.
Возьмем произвольное e > 0. Так как = А, то существует проколотая окрестность
(a, d) точки а, для каждой точки х из которой f(x) Î U (A,e). Поскольку
(a, d) совпадает с объединением односторонних окрестностей
(a – 0, d) и
(a + 0, d) того же радиуса d, то для каждой точки х из окрестностей
(a – 0, d) и
(a + 0, d) выполняется условие f(x) Î U (A,e). В силу произвольности e имеем
= А и
= А.
Пусть теперь существуют и
. Докажем, что существует
= А.
Возьмем произвольное e > 0. Так как и
, то существуют односторонние окрестности
(a – 0, d1) и
(a + 0, d2), для каждой точки х из которых f(x) Î U (A,e). Возьмем число d = min {d1, d2}. Тогда окрестность
(a, d) содержится в объединении
(a – 0, d1)
(a + 0, d2), и, следовательно, для каждой точки x из
(a, d) выполняется условие f(x) Î U (A,e). В силу произвольности e имеем
= А. Теорема доказана.