ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке a конечные или бесконечные пределы. Если эти пределы — конечные числа, то пределы от суммы, разности, произведения и частного этих функций вычисляются согласно теореме об арифметических свойствах пределов. Если предел f(x) — конечное число A, а = ± ¥, то
+ g(x) ) = [A + (± ¥)] = ± ¥,
– g(x) ) = [A – (± ¥)] = K ¥,
=
Если предел f(x) — конечное число A, а
= ± ¥ или
= 0, то пределы
от частного этих функций вычисляются согласно теореме о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями:
,
Вопрос о значении предела остается невыясненным в случаях
– g(x)) = [¥ – ¥],
=[0·¥],
,
.
Такие выражения называются неопределенностями, значения пределов в этих случаях зависят от конкретного вида функций f(x) и g(x). Например,
1) ;
2) В этих примерах при раскрытии одной и той же неопределенности [¥ – ¥] получили разные ответы.
В качестве упражнения придумайте примеры, показывающие, что выражения [0·¥], ,
действительно являются неопределенностями.
При вычислении пределов от функций вида обычно следует перейти к степени с основанием e, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством:
=
. Поскольку величина предела такой функции зависит от величины предела
, а при вычислении предела от произведения функций неопределенность возникает только в виде [0·¥], то в нашем случае неопределенность возникнет, если
1) = 0,
= ±¥ или 2)
= ±¥,
= 0.
Заметим, что = 0, если
= 1,
= +¥, если
= +¥, а
= – ¥, если
= 0.
Таким образом, получаем неопределенности, возникающие при вычислении пределов от степеней с переменными основанием и показателем: [1¥], [00], [¥0].
В литературе по математическому анализу обычно рассматриваются два предела, получившие названия «первый замечательный предел» и «второй замечательный предел».
Первый замечательный предел раскрывает неопределенность
и может быть записан еще в трех видах:
,
,
.
Второй замечательный предел = e раскрывает неопределенность [1¥] и может быть записан еще в трех видах:
,
. В последних двух модификациях второго замечательного предела раскрываются неопределенности
.
Доказательства замечательных пределов можно найти в учебнике Шипачева В.С. (глава 4, § 4).
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
ТЕОРЕМА. Пусть функции f(x), f1(x), g(x), g1(x) являются бесконечно малыми при стремлении x к a, причем f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x). Тогда если существует предел , то существует и предел
, причем
=
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно определению эквивалентных бесконечно малых функций и
. Следовательно,
=
·
·
=
= 1· · 1 =
. Теорема доказана.
Заметим, что во всех видах записи замечательных пределов, раскрывающих неопределенности , числитель и знаменатель дроби являются эквивалентными бесконечно малыми. Более того, если a(x) является бесконечно малой при стремлении x к a, то, заменив в этих пределах x на a(x), получим верные равенства, то есть
и т. д. Следовательно, если a(x) — бесконечно малая при стремлении x к a, то
sin a(x) ~ a(x), tg a(x) ~ a(x), arcsin a(x) ~ a(x), arctg a(x) ~ a(x),
ln (1+a(x)) ~ a(x), e a(x) – 1 ~ a(x).
Приведем несколько примеров на использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.
Пример 1.
.
Здесь использованы эквивалентности бесконечно малых при стремлении x к 0: sin 5x ~ 5x и tg 3x ~ 3x и применена теорема об эквивалентных бесконечно малых.
Пример 2.
.
Здесь использованы эквивалентности бесконечно малых при стремлении x к 3: ln (1+ x – 3) ~ x – 3 и tg 2(x – 3) ~ 2(x – 3) и применена теорема об эквивалентных бесконечно малых.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ