ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
ТЕОРЕМА 1. Единственность предела.
Если функция f (x) имеет в точке а конечный предел, то только один.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство теоремы проведем для случая, когда а — конечное число. Предположим, что функция f (x) имеет в точке a два различных конечных предела: = А и
= В, A ≠ B. Пусть А < B. Возьмем окрестности U (A,e) и U (B,e) точек A и B радиуса
. Поскольку
= А и
= В, то
$ (a, d1): (x Î
(a, d1) Þ f(x) Î U (A,e)) и
$ (a, d2): (x Î
(a, d2) Þ f(x) Î U (B,e)).
Возьмем число d = min {d1, d2}. Так как (a, d1) и
(a, d2) являются окрестностями одной и той же точки а, то окрестность
(a, d) совпадает с меньшей из них и содержится в большей. Следовательно, для х из этой окрестности выполняются оба условия: f(x) Î U (A,e) и f(x) Î U (B,e), то есть
Из последней системы следует, что и
одновременно, что невозможно. Получили противоречие, следовательно, A = B. Теорема доказана. Для случаев a = ±
теорема доказывается аналогично.
ТЕОРЕМА 2. Предел константы.
Если f (x) = C для любого x из некоторой проколотой окрестности (a, d) точки a, то
= C.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Возьмем произвольное e > 0. Поскольку для любого x из (a, d) имеем
, то есть f(x) Î U (C,e), то
= C. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 3. Арифметические свойства пределов.
Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке a конечные пределы A и B. Тогда в точке a существуют конечные пределы функций f(x) ± g(x), f(x) · g(x) и (при B ≠ 0), причем
= A ± B,
= A · B,
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Докажем теорему для суммы функций в случае, когда а — конечное число.
Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = А, то существует проколотая окрестность
(a, d1), для каждой точки х из которой справедливо неравенство
| f(x) – A| < e/2. Поскольку = В, то существует проколотая окрестность
(a, d2), для каждой точки х из которой справедливо неравенство | g(x) – B| < e/2. Возьмем d = min {d1, d2}. Тогда окрестность
(a, d) совпадает с меньшей из окрестностей
(a, d1) и
(a, d2), и, следовательно, для точек этой окрестности справедливы оба из указанных неравенств. В результате для любого х из
(a, d) имеем | f(x) + g(x) – (A + B) | = | ( f(x) – A)+ (g(x) – B) | £ | ( f(x) – A) | + | (g(x) – B) | < e/2 + e/2 = e. Следовательно
+ g(x) = A + B. Доказательство теоремы для суммы функций закончено. Остальные утверждения теоремы примем без доказательства.
ТЕОРЕМА 4. Об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
Если функция f(x) имеет в точке а конечный предел = А, то существует проколотая окрестность точки а, в которой функция f(x) ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = А, то существует проколотая окрестность
(a, d), для каждой точки х из которой справедливо неравенство | f(x) – A| < e. Раскрывая модуль, получим – e < f(x) – A < e, A – e < f(x) < A + e. Справедливость последнего неравенства означает ограниченность функции f(x) в окрестности
(a, d). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 5. О сохранении знака.
Пусть = A > B. Тогда существует проколотая окрестность
(a, d) точки a, для любой точки x из которой справедливо неравенство f(x) > B.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Возьмем e . Согласно определению предела для этого e существует проколотая окрестность
(a, d) точки a, для любой точки x из которой справедливо неравенство
, которое равносильно неравенствам
,
,
,
.
Из последнего неравенства следует, что , а так как A > B, то
. Получили, что для любой точки x из проколотой окрестности
(a, d) точки a справедливо неравенство f(x) > B. Теорема доказана.
Замечание. Если = A < B, то существует проколотая окрестность
(a, d) точки a, для любой точки x из которой справедливо неравенство f(x) < B. Докажите самостоятельно.
ТЕОРЕМА 6. О предельном переходе в равенстве и неравенстве.
Пусть в некоторой проколотой окрестности (a, d) точки a функции f(x) и g(x) определены и существуют пределы
и
.
Тогда если для любого x из (a, d) f(x) = g(x), то
=
,
если для любого x из (a, d) f(x) £ g(x) или f(x) < g(x), то
£
.
Без доказательства.
ТЕОРЕМА 7. Принцип сжатой переменной.
Пусть в некоторой проколотой окрестности (a, d0) точки a функции f(x), g(x) и h(x) определены, и для любого x из
(a, d0) справедливо неравенство f(x) £ h(x) £ g(x). Тогда если в точке a существуют равные между собой пределы
=
= A, то существует
= A.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство рассмотрим для случая конечной точки а.
Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = А и
= A, то существует проколотая окрестность
(a, d1), для любой точки x из которой справедливо неравенство | f(x) – A| < e, и существует проколотая окрестность
(a, d2), для любой точки x из которой справедливо неравенство | g(x) – A| < e. Возьмем d = min {d0, d1, d2}. Тогда окрестность
(a, d) совпадает с меньшей из окрестностей
(a, d0),
(a, d1) и
(a, d2), и, следовательно, для точек этой окрестности справедливы три неравенства: f(x) £ h(x) £ g(x), | f(x) – A| < e, | g(x) – A| < e, то есть
f(x) £ h(x) £ g(x), A – e < f(x) < A + e и A – e < g(x) < A + e. Отсюда следует, что для всех х из (a, d) справедливы неравенства A – e < f(x) £ h(x) £ g(x) < A + e, то есть A – e < h(x) < A + e, или | h(x) – A| < e. Значит,
= A. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 8. О пределе монотонной функции.
Пусть функция f(x) определена и монотонно возрастает на промежутке [a; +¥). Тогда существует предел конечный, если f(x) ограничена сверху, и бесконечный, равный +¥, в противном случае. Без доказательства.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ