Найти общее решение или общий интеграл уравнения
Миндерова О. Н.
Сборник упражнений по высшей математике
Дифференциальные уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Элементы теории поля
Ряды
ТФКП
Операционные исчисления
III семестр
Классы ___121,122_________
Прежде чем приступить к решению упражнений,
Выучи теорию,
Используя литературу и лекции по ВМ.
Без знания теории практика бессмысленна!!!!
Данный сборник не является источником теоретического материала, предназначен только для практических занятий.
2012-2013
Тема № 1 Дифференциальные уравнения
I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Литература по теме:
1.Мачехина, Ильенок « ДУ первого порядка»
2. Письменный « Конспект лекций по высшей математике» кн 2
3. Пискунов «Дифференциальные и интегральные исчисления», т 2
Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.
Решением или интегралом д/у называется любая функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество
Процесс нахождения решения д/у называется интегрированием
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение: Дифференциальное уравнение вида
(1)
называется уравнением с разделяющимися переменными
Или
(2)
Метод решения: (1)
1. Разделяем переменные, перенося слагаемые в разные стороны, получим уравнение 
2. Почленно делим обе части уравнения на 
, получаем уравнение с разделенными переменными 
3. Интегрируя обе части уравнения, получаем общее решение или интеграл исходного уравнения
4. Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Метод решения: (2)
1. Подставляем 
, затем приводим уравнение к форме (1) и используем метод решения рассмотренный ранее
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№1◦. 
№2◦. 
.
№3◦. y’ = cos(2x + 5) №4◦. 
№5◦. 
№6◦. 
№7◦. 
; 
№8◦. 
, 
№9◦.
; 
№10. 
; 
.
№11•. 
№12•. 
№13•. №16•. 
№14• 
; 
№15•. • ;
Однородные уравнения
Определение: Уравнение вида 
является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного измерения.
Уравнение 
- однородное, если функция f(x, y) – однородная нулевого измерения.
Метод решения
1. Вводим новую переменную 
, где 
- дифференцируемая функция
2. Находим 
; 
3. Получаем д/у с разделяющими переменными относительно функции u(x), решив его делаем обратную замену
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№16◦..
; 
№17◦. 
.
№18◦.. 
№19◦. 
№20◦. 
№21◦. 
№22◦. 
№23◦. 
№24•. 
. №25•. 
№26• 
. №27•. ; 
.
№28• 
; 
. №29•.
Линейные уравнения
Определение. Дифференциальное уравнение вида
P(x) и Q(x )- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b., в частности константы, называется линейным
Решение линейного уравнения ищем в виде 
, где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции и 
Найти общее решение или общий интеграл уравнения
№30◦ 
. №31◦. 
№32◦. 
№33◦. 
№34◦. 
№35◦. 
№36◦. , . №37•. 
Уравнения Бернулли
Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида
где P и Q – функции от х в частности константы, а n 
R, n 
0 и n 1.
Решениеуравнения Бернулли ищем в виде , где
№38◦. 
№39◦. 
№40•. 
№41◦. 
№42•. 
№43◦. 
№44◦. 
№45•. 