Исследовать сходимость ряда № 1 - 13
№1. . №2.
. №3.
. №4.
.
№5.
. №6..
№7.
. №8.
.
№9. . №10.
. №11.
.
№12. . №13.
.
Определение: Знакопостоянный числовой ряд-это такой ряд, все члены которого либо только положительные, либо отрицательные числа.
№ | Название | Формулировка | Примечание |
Признак Д’Аламбера | Если у знакоположительного ряда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 1.Применяется, если общий член ряда содержит слагаемым или множителем ![]() ![]() ![]() | |
Радикальный признак Коши | Если у знакоположительного ряда ![]() ![]() ![]() ![]() | 1. Применяется, если общий член ряда целиком является n – ой ( или n+1 – ой, 2n –ой…) степенью некоторого выражения 2. Если l = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым | |
Интегральный признак Коши | Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 1. Применяется, когда общий член ![]() ![]() |
Примерный план исследования знакоположительного ряда:
1. Определить вид ряда.
2. Находят (если это не трудно) :
а) если , то ряд расходится
б) если , то продолжаем исследование.
3. Устанавливаем путем анализа формулы общего члена какой из признаков целесообразнее применить, перебирая признаки в следующем порядке:
а) признак Д’Аламбера
б) радикальный признак Коши
в) интегральный признак Коши
г) признаки сравнения
4. Исследуем сходимость ряда по данному признаку
Степень роста выражений при
1.
2.
3. ,
4. ,
5. ,
Исследовать на сходимость №№ 14 – 18.
№14. . №15.
. №16.
. №17.
.
№18. . №19.
№20.
№21.
Знакопеременные ряды
Знакопеременные ряды – это числовые ряды, содержащие бесчисленное множество положительных и бесчисленное множество отрицательных членов
Определение: Знакопеременный ряд, у которого положительные и отрицательные члены ряда следуют строго друг за другом называется знакочередующимся
Теорема (Признак Лейбница)
Если абсолютные величины членов знакочередующегосяряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит первого члена ряда.
Ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, называется рядом Лейбница или лейбницевским рядом. Он всегда сходится
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
.
Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
расходится.
№22. . №23.
. №24.
. №25.
. №26.
. №27.
. №28.
Степенные ряды
Определение: Ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента, называется функциональным.
Ряд, записанный в виде
называется степенным
План нахождение области сходимости:
1) Найдем радиус сходимости по одной из формул или
2) Запишем интервал сходимости (-R: R),
3) Дополнительно исследуем сходимость заданного ряда в точках x =
4) Записываем область сходимости исходного ряда.
Замечание:
Если исследуем ряд, расположенных по степеням (x – x0), где x0 ≠ 0, общий вид которого
то
выполним замену x – x0 = X, получим (1)и найдем область сходимости полученного ряда по плану, затем заменив X, найдем область сходимости исходного ряда
Найти область сходимости степенных рядов:
№29. . №30.
. №31.
.
№32. . №33.
. №34.
.
№35. . №36.
. №37.
.
№38. . №39.
.
Разложить в ряд по степеням :
№40. №41.
. №42.
.
№43. .№44.
. №45.
.
№46. . №47.
.№44.
.
№45. . №46.
. №47.
.
Вопросы по теме «Ряды»
1.Основные понятия о числовых рядах. Свойства числовых рядов.