Различные формы записи комплексных чисел
1) Алгебраическая форма z = x + iy
2) Тригонометрическая форма 
Действительное число r = 
называется модулем комплексного числа
z = x + iy. Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z;
Угол 
называется аргументом комплексного числа zи обозначается 
: 
, где φ = argz -главное значение аргумента комплексного числа; 
3) Показательная форма комплексного числа 
- уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.
Задания
1). Найдите действительную часть комплексного числа z = 4+2i; z = 6;
z = -7i; 
; 
Изобразите области
2). Где расположены точки 
, для которых ; 
; 
; 
; 
?
3). 
; 4). 
; 5). 
; 6). 
;
Представить в тригонометрической и показательной формах число
7). 
; 8). 
; 9). 
; 10). 
; 11). 
.
II. Функция комплексного переменного
Определение:Комплексная переменная величина W называется функцией комплексной величины Z , если каждому значению, которое может принимать величина Z, соответствует определенное комплексное числовое значение W = u + iv , те w = f(z).
Различают однозначные функции и многозначные
Определение:
Если каждому z 
D соответствует одно значение w, то функция w = f(z) называется однозначной. Если каждому z D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции 
в точке 
являются непрерывность в этой точке частных производных 1-го порядка функций 
и 
по обеим переменным и выполнение равенств
, 
Определение: Функция w = f(x), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области
Исследовать на аналитичность
12). 
; 13). 
; 14). 
; 15). 
;
Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части
16). 
17). 
18). 
19). 
и 
20). 
21). 
III. Элементарные функции комплексного переменного
1. Степенная функция: 
, где 
.
а) 
натуральное число, тогда 
.
б) 
, где 
, где 
Функция многозначная ( q – значная) Однозначная ветвь этой функции получается, если придать к определенное значение
в) 
, где 
несократимая дробь.
, где 
2. Показательная функция:
, где 
определяется равенством 
3. Логарифмическая функциия:
Lnz = ln 
;
4. Тригонометрические функции:
, 
, 
5. Гиперболические функции:
, 
, 
, 
.
; 
- формулы связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями
6. Обобщенная показательная функция w = 
и обобщенная степенная w = 
(а, z - произвольные комплексные числа, 
) функции определяются соотношениями 
.
22). Вычислить а) 
; б) 
; 23). Решить уравнение 
.
24). Найти 
а) z = 
, б) z = 
, в) z = 
, г) z = 
.
25). Вычислить а) Ln(4); б) Ln(-1); в) 
; г) 
.
Найти действительную и мнимую часть выражения:
26). а) 
; б) sin2i; в) cos(2 + i); г)tg(2-i);
27). Вычислить а) 
б) 
в) 
г) 
.