Производная и дифференциал 1 страница

Далее ⇒

Действительные числа

1. Действительные числа и их свойства. Принцип Архимеда.

2. Множество действительных чисел как метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества в нем.

Леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел:

3. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора).

4. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля - Лебега).

5. Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса).

6. Г рани числовых множеств. Теорема существования точных граней.

Предел

7. Предел последовательности. Общие свойства предела.

8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах.

9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

10. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е.

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано- Вейерштрасса.

12. Верхний и нижний пределы последовательностей.

13. Критерий Коши сходимости последовательностей.

14. Предел функции. Эквивалентность определений Гейне и Коши.

15. Свойства предела функции. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.

16. Предел сложной функции.

17. Предел по базе. Односторонние пределы, пределы на бесконечности.

18. Критерий Коши существования предела функции.

19. Замечательные пределы.

20. Существование предела монотонной функции.

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.

Непрерывность

22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

24. Теорема Вейерштрасса.

25. Теорема Кольцано - Коши.

26. Критерий непрерывности монотонной функции.

27. Теорема об обратной функции.

28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

29. Непрерывность основных элементарных функций.

Производная и дифференциал

30. Производная функции. Связь между существованием производной и непрерывностью.

31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия диффсрснцируемости.

32. Инвариантность формы первого дифференциала.

33. Правила дифференцирования.

34. Производная сложной функции.

35. Производная обратной функции.

36. геометрический смысл производной и дифференциала.

37. Производные основных элементарных функций.

38. Производные высших порядков. Правила вычисления, формула Лейбница.

39. Производные высших порядков от сложных и обратных функций.

40. Дифференцирование параметрически заданных функций.

41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы. Теоремы о среднем:

42. Теорема Ферма.

43. Теорема Ролля.

44. Формула конечных приращений Лагранжа.

45. Теорема Коши.

46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0.

47. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 8/8.

48. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано.

49. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.

50. Основные разложения по формуле Тейлора.

Применение дифференциального исчисления к задачам исследования поведения функций:

51. Условия монотонности функций.

52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

53. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.

55. Условия выпуклости и наличия точки перегиба графика функции.

56. Вертикальные и наклонные асимптоты.

17. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. (Гейне): Функция f имеет в точке x₀ предел слева (справа), если существует такое число

, что для произвольной последовательности (x_n) значений x, a < x_n < x₀ (x₀ < x_n < b), сходящейся к точке x₀ при n → ∞, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции f сходится к точке A. (Коши): Функция f имеет в точке x₀ предел слева (справа), если

Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x₀ и обозначаем f(x₀ - 0) (f(x₀ + 0)) или

. Функция f имеет предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа. Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:

18. Критерий Коши существования предела функции. Условие Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x₁,x₂, удовлетворяющих условию 0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d, справедливо неравенство |f(x1-f(x2)|<e. Критерий Коши. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a (lim_{x ->a}f(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши. Доказательство Необходимость. Пусть

. Это означает, что для любого  > 0 существует такое  > 0, что для всех точек

справедливо неравенство

. Достаточность

. Теорема об эквивалентности двух определений предела:

(Определение предела по Гейне-Борелю). Применяем критерий Коши для последовательности. Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности

. Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность

, тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность

сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность:

, сходящуюся к a. Последовательность значений функции

не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие.

19. Замечательные пределы. Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы

и докажем, что они равны 1. Пусть

. Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что:

(1) (где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из

: | LA | = tgx) Подставляя в (1), получим:

Так как при:

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1 Второй замечательный предел

. Доказательство Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем

. Прибавим ко всем частям неравенств единицу

. По свойству степеней имеем

Так как

, то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

, что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.

20. Существование предела монотонной функции. Функция

называется - монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

- монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из

. Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле. Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве. Теорема. Пусть функция

– неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть

. Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел

. Если же она не ограничена сверху, то

. Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то

. Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f. Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани

. Таким образом,

, и для всякого e > 0 существует

такое, что

. Но в силу того, что f не убывает,

. Таким образом, для любого e>0 можно указать

такое, что

для всех x, удовлетворяющих неравенствам

. Это и значит, что

. Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует

такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X,

, а это и говорит о том, что

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если

или

, т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Примеры. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как

Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞. Если для любой последовательности

значений аргумента соответствующая последовательность значений функции

бесконечно большая, то функция

называется бесконечно большой в точке

. «O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x₀, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что: f является «O» большим от g при

, если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x₀ имеет место неравенство

; f является «о» малым от g при

, если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность

точки x₀, что для всех

имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x₀ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при

. Сравнение асимптотического поведения функций Определение. Говорят, что функция

есть бесконечно малая по сравнению с функцией

при

и пишут

, если

, где

- бесконечно малая функция при

. Замечание. Если функция в , то последнее определение можно записать как

Определение. Говорят, что функции и эквивалентны при и пишут , если , где - бесконечно малая функция при . Замечание. Если

в некоторой

22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Определение 1: Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если

. Определение 2: f(x) называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f(x) - f(а) | < e при | х - а | < d. f(x) = f(а) Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx₀, если выполнены 3 условия: 1-она определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности; 2-имеет предел при x → x₀; 3-этот предел равен значению функции в точке x₀. Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва. Классификация точек разрыва: 1)

- устранимая т.р.

и они конечны, но

. 2)

- т.р. 1-го рода:

- конечны, но

. К примеру,

(рис. 8.3). 3)

- т.р. 2-го рода: все остальные т.р., например, точки бесконечного разрыва. В частности,

23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций. Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = j(x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и j. y = f(j (x)). Пример: y = sin(

) - сложная функция. y = sin t, где t =

. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и

(при условии g(а) ¹ 0) непрерывны в точке а. Доказательство: По условию

f(x) = f(а),

g(x) = g(а) Þ

[ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного. Теорема доказана.

24. Теорема Вейерштрасса. Первая теорема Вейерштрасса. Пусть

. Тогда

ограничена на

. Доказательство: Докажем, что

. Предположим противное, то есть

. Возьмем

=1,2,3… Получим

: 1)

Из этих определений получаем

-подпоследовательность последовательности

-непрерывна в точке

-подпоследовательность последовательности

. Противоречие. Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть

. Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке

функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу. Доказательство: По условию теоремы

ограничена на

Докажем, что

. Предположим противное, то есть

. Рассмотрим вспомогательную функцию

на

. По 1 теореме Вейерштрасса

ограничена на

, то есть

)- верхняя граница.

, то есть

. Противоречие.

25. Теорема Больцано-Коши. Пусть дана непрерывная функция на отрезке

Пусть также

и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого

существует

такое, что f(c) = C. Доказательство Рассмотрим функцию

Она непрерывна на отрезке

Покажем, что существует такая точка

, что

Разделим отрезок

точкой

на два равных по длине отрезка, тогда либо

и нужная точка

найдена, либо

и тогда на концах одного из полученных промежутков функция

принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше). Обозначив полученный отрезок

, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке

, либо получим последовательность вложенных отрезков

по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть

- общая точка всех отрезков

Тогда c = lim a_n = lim b_n, и в силу непрерывности функции

g(c) = lim g(a_n) = lim g(b_n). Поскольку

получим, что

26. Критерий непрерывности монотонной функции. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]). Доказательство. Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют:

для "x₀Î(a,b], и

для "x₀Î[a,b). Доказательство леммы. Положим для некоторого x₀Î(a,b], A=

, тогда для "xÎ[a,x₀) :f(x)£A и для "e>0$ x¢Î[a,x₀):A-e <f(x¢). Так как функция монотонно возрастает, то "xÎ(x¢,x₀):A-e < f(x¢) £ f(x)£A. Таким образом, равенство

доказано. Аналогично для предела справа

. Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение. Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы. Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода. Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2). Достаточность. Предположим противное. В точке x₀ имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:

. Пусть, например,

. Так как функция возрастает, то это означает, что

.По лемме

. Имеем

при x £ x₀, f(x₀) < f(x₀+0) £ f(x) при

. Таким образом, значения между f(x₀), f(x₀+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы. Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева. Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

27. Теорема об обратной функции. если функция f:X→Y , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f−1:Y→X и если y=f(x) то x=f−1(y), и если x=f−1(y), то y=f(x) и f−1(f(x))=x при любом x∈X , f−1(f(y))=y при любом y∈Y . Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.) . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x₁ и x₂ — произвольные значения из Е (f), такие, что x₂> x₁. и пусть y₁=g(x₁), y₂=g(x₂). По определению обратной функции x₁=f(y₁) и x₂=f(y₂). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y₁ ≥ y₂ приводит к выводу f (y₁)≥f(y₂), т. е. x₁≥ x₂. Это противоречит предположению x₂> x₁. Поэтому y₂> y₁ , т. е. из условия x₂> x₁ следует, что g (x₂)>g (x₁). Именно это и требовалось доказать.

28, 32. Инвариантность формы первого дифференциала. 28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если

Теорема Кантора Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте. 32. Инвариантность формы первого дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала Пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем df = f '(x)·u '(x)·dx. Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим df = f '(u)·du. Что совпадает с соотношением dy = f '(x)·dx. Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.

29. Непрерывность основных элементарных функций. Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке своей области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя: Алгебраические многочлены

Рациональные дроби

; Степенные функции

; Показательные функции

; Логарифмические функции

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Гиперболические функции

Обратные гиперболические функции

30. Производная функции. Связь между производной и непрерывностью. Пусть в некоторой окрестности точки

определена функция

Производной функции называется такое число

, что функцию в окрестности U(x₀) можно представить в виде f(x₀ + h) = f(x₀) + Ah + o(h) если

существует. Определение производной функции через предел Пусть в некоторой окрестности точки

определена функция

Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x₀

31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциа́л — линейная часть приращения функции. Для функций Дифференциал функции

в точке

может быть определён как линейная функция

где f'(x₀) обозначает производную f в точке x₀. Таким образом df есть функция двух аргументов

. Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция

линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

Теорема: Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке. При этом

Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀) = f ^'(x₀)Δx+α(Δx)Δx,

где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.

Доказательство
Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx).
Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A.
Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

33. Правила дифференцирования. При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

34. Производная сложной функции. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную

и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u₀ производную y '_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y '_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. Доказательство. При фиксированном значении х₀ будем иметь u₀=u(x₀), у₀=f(u₀). Для нового значения аргумента x₀+Δx: Δu= u(x₀ + Δx) – u(x₀), Δy=f(u₀+Δu) – f(u₀). Т.к. u – дифференцируема в точке x₀, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0. По условию

. Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

, где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0. Перепишем это равенство в виде: Δy= y '_uΔu+α·Δu. Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

. По условию

. Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y '_x= y '_u·u '_x . Теорема доказана. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y '_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем y '_x= y '_u·u '_x . Применяя эту же теорему для u '_x получаем

, т.е. y '_x = y '_x· u '_v· v '_x = f '_u (u)·u '_v (v)·v '_x (x).

35. Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g '(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f '(x₀), равную

, т.е. справедлива формула

. Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y₀, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x₀=g(y₀). Следовательно, при Δx→0 Δy→0. Покажем, что

. Пусть

. Тогда по свойству предела

. Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е.

. Следовательно,

, что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде

, т.е. справедлива формула

. Пусть

. Тогда по свойству предела

. Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е.

. Следовательно,

, что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде

36. Геометрический смысл производной и дифференциала. Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x). Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.

Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim_{D x® 0}f (D x) = f ₀, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX. Справедливо утверждение: Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x). Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x₀) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x₀, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции. Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x₀ имеет вид

y = f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM₁. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка M₁(x+Δx; y+Δy). Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT. Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

37. Производные основных элементарных функций. y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ, можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно, Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ. Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3. Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной. Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Таким образом,

Аналогично можно показать, что

Рассмотрим функцию y= ln x. Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

Итак,

Используя свойства логарифма можно показать, что

Далее ⇒