Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши
Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа) Пусть при всех существует
-я производная
. Тогда для любого
существует точка
, лежащая между
и
(то есть
при
), такая что
(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)
Доказательство. Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию переменного
, изменяющегося в рассматриваемой окрестности
точки
. Эта функция будет зависеть также от параметра
:
Подберём такое значение параметра , равное
, чтобы при
функция обращалась в 0:
. Фиксируем такое значение
.
Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке
(или
, если
):
, что очевидно по определению функции
;
согласно выбору параметра; дифференцируемость на
и непрерывность в точках
и
следуют из предположенных свойств функции
. По теореме Ролля существует такая точка
, что
Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что
![]() | |
![]() |
Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем
Подстановка даёт
откуда следует, что
Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение
в выражение для
, получим:
![]() | |
![]() |
Отсюда получаем, наконец,
Что и требовалось доказать.
Общие свойства предела!
Определение 2.5. Последовательность называется постоянной, если
Уп:хп=а = соп$1.
Определение 2.6. Последовательность называется финально постоянной, р^пи она постоянна, наминая с некоторого номера:
N хп=а = соп81.
Замечание 2.2. Конечное число членов последовательности не влияет на её сходимость.
Теорема 2.1.
Финально постоянная последовательность сходится;
если 1ипхп = А то VУ(А) содержит все члены последователь-
Л-*»
ности за исключением конечного числа;если последовательность имеет предел, то он единственный:
Иша:п = а, а Итх„ = а2 => а, = а2;
п—юо Л—>оо
сходящаяся последовательность ограничена:
1ЮШ = а=> ЭМ : \/п Ы < М.
П—1 '
4 Докажем 3: пусть о, * а2,а2 = а, + Д,Д > 0 =>
Ншхп=а]: \/е=— 3N^:Уп>N^ \хп-а]\<е,
Нш х„ = а7: Уе = — 3//,: Уп > 1Ё I х„ - а, |< е.
„_*» " 2
Если N := тах-^рЛ^}, то л:я е У(о,)пУ(я2), но ^(а1)пУ(й2) = 0=> приходим к противоречию, т.е. а^=а2 => предел единственный. ►
■4 Докажем 4: Нтл = а => Пусть € = 1 =>
Л-)оо
ЭЛГ = N(6) :\/п>и\хП-а\<1=>
.к,, е (а-1,а + 1) |лг„ |< А:=тах(|я + 1|,|а-1|). Возьмем М := тах(А,| л:, |,| х2хм |), тогда |д:„| <МУп. ►
Предел сложной функции:
Из существования пределов f ( x ) в точке a и g ( y ) в точке f ( a ) следует существование предела сложной функции g ( f ( x )) в точке a .