Классическое определение вероятности
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования "Уральский государственный университет им. А.М. Горького"
Факультет "Связи с общественностью и рекламы"
Учебно-методическое пособие по курсу
Основы статистики
Екатеринбург
Шкалы измерений.
Номинальная шкала ‑ позволяет различать объекты
Дихотомическая шкала – номинальная с двумя пунктами
Ранговая шкала – позволяет упорядочить объекты, но не нельзя определить разность.
Интервальная шкала – диапазон изменения параметра разбивается на заданное число интервалов. Позволяет сравнивать объекты и выполнять основные математические операции, но ноль шкалы может не соответствовать отсутствию измеряемого свойства.
Относительная или шкала отношений ‑ наиболее совершенная. Происходит сравнение измеряемой величины с заданной единицей. Позволяет проводить любые математические операции с результатами измерений.
Случайное событие
Событие называется детерминированным, если в результате опыта оно происходит или не происходит наверняка. В детерминированном случае мы точно знаем, что данная причина приведет к единственному, вполне определенному следствию.
Событие называется случайным, если в результате опыта мы не можем заранее предсказать - произойдет событие или нет. При этом предполагается, что опыт можно повторять неограниченное число раз при неизменных условиях.
События, исход которых нельзя предсказать, но и невозможно повторять многократно, называются неопределенными.
События и
называются несовместными, если появление одного исключает появление другого.
Событие следует из события
, если событие
происходит всегда, когда произошло событие
. Это обозначается тем же символом, что и подмножество:
. Будем говорить о равенстве двух событий
и
, если из
следует
и из
следует
.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти никогда при данных условиях.
Событие называется достоверным, если оно происходит всегда при данных условиях.
Пусть случайный эксперимент проводится раз, и событие A произошло
раз. Тогда говорят, что относительная частота события
есть
. Частота события связана с его вероятностью.
Относительную частоту называют еще эмпирической вероятностью именно потому, что по частоте события мы оцениваем возможность его появления в будущем. Эмпирическую вероятность будем обозначать . Знак ~ (тильда) указывает на то, что это эмпирическая вероятность, а
- количество случайных экспериментов:
Свойства эмпирической вероятности. Для любого случайного события
.
Алгебра событий.
Суммой двух событий и
называется событие
, состоящее в том, что произошло событие
или событие
. В данном случае "или" употребляется в не исключающем значении: А или
означает, что произошло событие
, событие
или оба этих события одновременно. Сложение событий удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:
,
.
Коммутативность и ассоциативность позволяют складывать любое число событий в любом порядке. Свойство: из события следует сумма этого события с любым бытием
:
.
Произведением двух событий и
называется событие
, состоящее в том, что события
и
произошли одновременно. Умножение событий так же, как и сложение, коммутативно и ассоциативно:
,
.
Свойство: из события следуют событие
и событие
и
.
Сложение и умножение событий удовлетворяют двум дистрибутивным законам.
Разностью событий и
называется событие
, состоящее в том, что произошло событие
и не произошло событие
.
Событие называется противоположным событию
, если оно состоит в том, что не произошло событие
.
Элементарные исходы
· не представимы в виде суммы двух других
· попарно несовместны
· никакие другие исходы в результате опыта произойти не могут
События образуют полный набор, если они несовместны, а их сумма есть достоверное событие. Полный набор исходов называют также пространством элементарных исходов и обозначают обычно буквой .
Элементы комбинаторики
Число перестановок определяется функцией (n - факториал, произведение целых чисел от 1 до n). Иное определение факториала:
.
Число расстановок
Число сочетаний
Некоторые свойства:
,
5. Основные теоремы: вероятность суммы событий, вероятность произведения.
Пусть и
- несовместные события. Тогда
, то есть эмпирическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме их эмпирических вероятностей..
Данное свойство выполняется для любого конечного набора попарно несовместных событий :
Пусть события образуют полный набор. Тогда
Классическое определение вероятности
Вероятностью Р(А) события называется отношение числа благоприятных исходов т(А) к общему числу
несовместных равновозможных исходов:
Свойства вероятности.
I. Для любого случайного события А .
2. Пусть события и
несовместны. Тогда
.