Совместное распределение случайных величин
Пусть заданы две конечные случайные величины:
, 
Событие 
состоит в том, что одновременно случайная величина 
принимает значение 
, а случайная величина 
- значение 
. Назовем вероятности таких событий совместными вероятностями и обозначим их через 
:
Набор точек 
вместе с совместными вероятностями образуют совместное распределение случайных величин x и h.
Две конечные случайные величины называются независимыми, если события 
и 
независимы при всех 
и, 
. В противном случае случайные величины зависимы. Для независимых случайных величин совместное распределение строится по известным распределениям величин x и h:
.
Пусть заданы две конечные случайные величины:
, 
Их суммой называется случайная величина 
, значениями которой являются всевозможные суммы 
с совместными вероятностями 
.
Произведением этих случайных величин называется случайная величина 
, значениями которой являются всевозможные произведения 
с теми же вероятностями 
.
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Математическим ожиданием конечной случайной величины
называется число
.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
1. Математическое ожидание постоянной равно ей самой:
.
2. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения, то 
.
3. Константу можно выносить за знак математического ожидания:
4. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
.
5. Для любой случайной величины справедливо равенство
.
Операция вычитания математического ожидания из случайной величины называется центрированием.
6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Дисперсия
Дисперсией конечной случайной величины называется число
.
Случайная величина 
распределена по закону
и, по определению математического ожидания, дисперсия вычисляется по следующей формуле:
Дисперсию иногда обозначают как 
или 
называется среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины .
1°. Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
.
При этом 
тогда и только тогда, когда случайная величина постоянна.
2°. Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом:
.
3°. Сдвиг на константу не меняет дисперсии:
.
4°. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
( и независимы)
5°. Дисперсия равна "среднему квадрату минус квадрат среднего":
.
Случайная величина
называется стандартизованной (по отношению к ) или просто стандартизацией . Стандартизованная случайная величина имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.
Коэффициент корреляции
Ковариацией двух случайных величин и (или ковариаиией между и ) называется число
Из определения вытекают следующие простые свойства ковариации:
1. 
2. Ковариаиия коммутативна: 
.
3 
.
4. 
.
Следующее свойство важно при оценке степени зависимости двух случайных величин.
5°. Если случайные величины и независимы, то их ковариация равна нулю.
Для независимых величин 
и их центрированные величины также независимы. Поэтому
,
Ковариация стандартизованных величин 
и 
называется коэффициентом корреляции между случайными величинами и :
,
Предполагается, что случайные величины и имеют ненулевые дисперсии. Справедливы следующие свойства коэффициента корреляции:
1. 
.
2. Коэффициенты корреляции между и и между их стандартизациями совпадают:
3. 
4°. Если и независимы, то 
(если 
, то и зависимы).
5°. Коэффициент корреляции равен 
тогда и только тогда, когда случайные величины линейно зависимы:
.