Скалярное произведение векторов
О.Скалярное произведение двух векторов 
и 
– число, равное произведению их модулей на 
угла между ними. 
Св-ва:
тогда и только тогда, когда 
угла между векторами вычисляется по ф-ле: 
Т. Если векторы имеют координаты 
; 
, тогда 
Правые и левые с-мы координат.
Три некомпланарных вектора 
в указанном порядке наз-ют тройкой векторов.
Пусть 
отложены из одной точки, будем смотреть из конца вектора 
на плоскость, содержащую и . Если кратчайший поворот от к осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов 
наз правой тройкой, если по часовой-то левой.
Векторное произведение векторов.
О. Векторным произведением 
на 
наз 
, к-рый удовлетворяет след. условиям:
каждому из векторов 
и 
тройка векторов 
Св-ва:
и 
-коллинеарны только тогда, когда 
=0
площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
= модулю векторного произведения 
Т. Пусть 
, 
, тогда 
Разложим 
и по базисным векторам 
= 
| x | i | j | k |
| i | 
| 
| 
|
| j | 
|
| 
|
| k | 
| 
|
|
Смешанное произведение
Пусть даны 3 вектора . Умножим 
векторно, а полученный р-т скалярно на 
. В р-те получим число 
, называемое смешанным произведением векторов 
.
Смешанное произведение 3-х некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если тройка 
правая и со знаком «-« - если правая.
Следствие. 
компланарны только тогда, когда их смешанное произведение =0.
Т. Пусть , 
, 
, тогда 
Вопрос №12. Плоскость в пространстве.
Ур-ние плоскости по точке и норм. вектору.
Пусть дана точка 
и 
плоскости. Пусть 
-произвольная точка плоскости. Рассм. вектор 
(1) 
Þ 
(2)
(1)-ур-ние по точке и нормальному вектору, (2)-общее ур-ние плоскости.
Частные случаи:1)если 
, то плоскость проходит через начало координат
2)если 
, тогда 
оси 
. След-но плоскость параллельна оси 
3) 
плоскость проходит через ось
4) 
плоскость параллельна плоскости 
5) 
плоскость определяет координатную плоскость 
Ур-ние плоскости, проходящей через 3 данные точки
Рассм. 3 точки, не лежащие на одной прямой 
, 
, 
. Рассм. произвольную точку 
, лежащую в этой плоскости. Рассм. 
.
, 
, 
т.к. 
компланарны, то их смешанное произведение =0, т.е. 
- ур-ние плоскости по 3 точкам.
Взаимное расположение двух плоскостей.
Пусть даны 2 плоскости 
1-ая плоскость имеет 
, 
. Если плоскости параллельны, то 
и 
коллинеарны. Поэтому 
– условие параллельности плоскостей. 
–условие совпадения плоскостей.Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности ^ плоскостей равносильна ^ их нормальных векторов.
- условие перпендикулярности.