Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и
О. Ф-я наз бесконечно малой при
, если
;
. Н.:
явл. бесконечно малой при
.
Св-ва бесконечно малых ф-ий:
если ф-я имеет предел
при
, то
можно принять
, где
– бесконечно малая при
если ф-я представляется в виде
, где
–бесконечно малая при
, то предел
при
будет равен
сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при
произведение двух бесконечно малых ф-ий при есть бесконечно малая при
.
произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при
произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при
.
О.Ф-я наз бесконечно большой при
, если
>0 можно найти такое число d>0, что при "
0<
<dÞ
>
.
Бесконечно большая ф-я при не имеет предела. Условно говорят, что
и пишут
.
Вопрос №18. Основные теоремы о пределах ф-ии.
Замечательные пределы.
Т. Ф-я не может иметь более 1-го предела при .
Т. Если каждая из ф-ий и
имеет предел при
, то их сумма, разность, произведение также имеют пределы. Причем предел при
Если кроме того , то сущ-ет предел частного причем предел частного равен частному пределов.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Следствие 2. Если , то
Т. Пусть ф-и определены в некот окрестности точки
. Если для
из этой окрестности вып-тся нер-во
и ф-и (1), (2) имеют одинак. пределы при
, то ф. (3) имеет тот же предел при
.
Т. Пусть ф. определена в нек-ром промежутке, содержащем
и если при
ф-я имеет «+»(«-«) предел, то найдется такая окрестность точки
, что для
из этой окрестности ф.- «+» («-«).
Т. Если ф. и
определены в нек-ром промежутке, содержащем точку
и для
из этого промежутка кроме
вып-тся нер-во
<
причем ф.
и М имеют пределы при
, тогда
.
О. Отношение двух ф. есть неопределенность вида
(или
) если
и
бескон. малые (беск. большие). В этом случае о пределе частного нельзя ничего определенного сказать, он может быть =0, = постоянной или =¥. Раскрыть эти неопределенности значит вычислить предел если он сущ-ет или док-ть, что он не сущ-ет.
1-метод раскрытия неопределенности-сокращение общего множителя.
2-метод: деление на степень .
разделим на
3-метод: первый замечательный предел.
~
;
~
4-метод: 2-ой замечательный предел.
Вопрос №20.Производная и дифференциал ф-ции. Правило дифференцирования.
Производной в точке
наз
отношения приращения ф. к приращению аргумента если этот предел сущ-ет.
Геом. смысл производной: угловой коэф. касательной в точке = значению производной в этой точке.
О. Ф. наз дифференцируемой в точке
, если она имеет в этой точке конечную производную. Если ф. дифференцируема в каждой точке интервала
, то она наз дифференцируемой на
.
Если ф. дифференцируема в т. , то
, где
–приращение ф. ,
-приращение аргумента. А-число не зависящее от
;
-бесконечно малое, при
Дифференциалом ф. в точке
наз линейная часть ур-ния
Дифференциалом независимой переменной наз приращение этой переменной, т.е.
. Т.о.
Т. Если ф. и
диф. в т.
, то их сумма, разность, произведение и частное также диф-мы в этой точке. Причем:
,
,
.
Производная 1-го порядка: функция
Производная второго порядка- производная от
Дифференциал –ного порядка
Вопрос №21. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма.
ф-я определена на
и в нек-рой точке
этого интервала имеет наиб. или наим. значение, тогда если в этой точке определена производная, то она =0, т.е.
Если произв. в точке =0, будет ли в этой точке наиб. или наим. значение.
Пр. в точке 0 производная =0.
Теорема Ролля.
Пусть на отрезке
определена ф-я
, причем:
непрерывна на
дифференцируема на
Тогда сущ-ет точка , что
Теорема Лагранжа.
Пусть на определена ф-я
причем:
непрерывна на
диффер. на
Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. , такая, что
Теорема Коши.
Пусть и
непрерывны на
и дифференцируемы на
и пусть кроме того
, тогда сущ-ет
такая, что
. Если в кач-ве
взять ф-ю.
=
, то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить
, то получим т. Коши.
Теорема Лапиталля-Бернулли.
Пусть и
определены и дифф. на
содержащим точку
за исключением быть может самой точки
. Пусть предел при
и
на
, тогда если сущ-ет конечный предел, при,
то сущ-ет и
причем они равны.
Вопрос №22. Исследование поведения ф-и и построение её графика.
Признак и ¯.
О. Ф-я на
наз : 1)постоянной, если
, где
для
;2)возрастающей, если для любых двух значений
, таких что
<
вып-тся нер-во
<
; 3)убывающей, если из
<
следует
>
Достаточное условие и ¯ функции.
Если в данном промежутке «+», то ф-я в этом промежутке, если
«-«, то ф-я ¯. Если же на промежутке
, то ф-я постоянна на этом промежутке.
Экстремумы ф-и.
Рассм. нек-рую ф-ю , определенную на
. Пусть
, d–нек-рое «+» число, d-окрестностью в точке
будем наз-ть интервал
и обозначать
.
О. Если можно указать такую d–окрестность , принадлежащую
, что для всех
вып-тся
>
, то
наз-ют максимумом ф-и
и обозначают
. Если же вып-тся нер-во , то минимумом –
и
наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.
Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.
Если производная =0, то отсюда не следует, что -точка экстремума.
О. Точка, в к-рой производная =0 наз стационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо =¥ наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.
Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я дифференцируема в нек-рой окрестности
. Если в точке
производная=0 и меняет знак при переходе через
, то
–точка экстремума, причем : 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.
Т.Если в точке 1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности
ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то
явл. точкой экстремума. Причем
-
если
>0, и
-
если
<0.
Направление выпуклости и точки перегиба.
О. График наз выпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.
Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.
Если ф-и –«+» в данном промежутке, то график ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке. Если же
–«-«, то-выпуклым вверх.
О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз точкой перегиба.
Т.(достаточный признак существования точки перегиба).
Если в точке
=0 и меняет знак при переходе через нее, то
–точка перегиба.
Асимптоты.
Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.
О. Прямая наз вертикальной асимптотой графика ф-и
, если хотя бы одно из предельных значений
стремится к ¥.
О.Предположим, что определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая
наз наклонной асимптотой графика ф-и
, если эта ф-я представлена в виде
, где
–бесконечно малая, то
®0, при
.
Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и имеет при
наклонную асимптоту
, если сущ-ют 2 конечных предела.
и
Исследование ф-и и построение графика:
Найти область определения (Д)
обл. значений
четность и периодичность
точки пересечения с осями координат
изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.
точки экстремума и промежутки и ¯
промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба
асимптоты графика
построить график ф-и.
О. Ф-я наз четной, если: 1)
; 2)
О. Ф-я наз периодической, если сущ-ет такое Т>0, что 1)
; 2)
Вопрос №30.Неопределенный интеграл, его основные св-ва и м-ды интегрирования.
Понятие о первообразной функции.
определенная на интервале АВ, наз первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого
Є(a,b)
F(x) =sin x, F(x) =ln x, f(x) =cos x; f(x) = .
Теорема: если f(x) - первообр., то множ-во также явл. первообр.
Неопределенный интеграл и его св-ва.
О.Если ф-я F(x)-первообразная ф-и f(x), то множ-во всех первообр. наз-ют неопределенным интегралом от f(x) и обозначают
f(x)- подинтегр ф-я, f(x) dx – подинтегр выражение; операция нахождения неопр. интеграла наз интегрированием.
Св-ва:
Производная неопр. интеграла = подинтегральной ф-и. Дифференциал от неопр. интеграла = подинтегральному выражению.
Неопр. интегр от диф-ла некот ф-и = этой ф-и с точностью до постоянной.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
,
Если ф-и f(x) и g(x) имеют первообр., то ф-я f(x)+ g(x) также имеет первообр.Причём
Таблица неопр. интегралов:
;