Признаки равенства треугольников
ПРИЗНАК № 1. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.
ПРИЗНАК № 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ПРИЗНАК № 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Свойства равнобедренного треугольника
ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть одновременно и медиана, и высота.
ТЕОРЕМА. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.
ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.
ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий основания биссектрис, проведенных к боковым сторонам, параллелен основанию.
ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий основания высот, проведенных к боковым сторонам, параллелен основанию.
Признаки равнобедренного треугольника
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике высота является и биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана является и биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный.
Задания с решением
1. В треугольнике ABC угол C равен 45°, AD – биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите угол B.
Решение:
Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AD – биссектриса, то углы BAD и CAD равны:
BAD = CAD = 30°. С другой стороны, угол BAC = BAD + CAD = 30° + 30° = 60°. Но сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому имеем:
A + B + C = 180°;
60° + B + 45° = 180°;
B = 75°.
Ответ: 75º
2. В треугольнике ABC стороны AC = BC, угол C равен 40°. Найдите внешний угол DBC.
Решение:
По условию, треугольник ABC — равнобедренный: AC = BC. Следовательно, углы при основании равны: A = ABC = x. Но сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
A + ABC + C = 180°;
x + x + 40° = 180°;
2x = 140°;
x = 70°.
Итак, угол ABC равен 70°. Углы ABC и DBC — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Имеем:
ABC + DBC = 180°;
70° + DBC = 180°;
DBC = 110°.
Ответ: 110°
3. В треугольнике ABD угол A равен 48°, а угол АCВ равен 56°. BD = BC. Найдите угол D.
Решение:
В треугольнике BCD BD = BC, поэтому он равнобедренный и углы D и BCD равны, то есть
D = BCD = x.
ACD = ACB + DCB = 56° + x.
Рассмотрим треугольник ADC. В нем сумма углов равна 180°, поэтому:
Ð A + Ð D +Ð ACD = 180°;
48° + x + 56° + x = 180°;
2x + 104° = 180°;
2x = 76°;
x = 38°.
Ответ: 38°
4. Отрезок, соединяющий середины сторон AС и ВC треугольника ABC, на 3 см меньше стороны АВ, на 2 см меньше стороны AC и на 1 см меньше стороны СB. Найдите периметр треугольника ABC.
Решение:
По определению ED – средняя линия. Тогда по свойству средней линии AB = 2ED.
Пусть ED = х, тогда АВ = 2х. По условию: ED = АВ – 3, ED = AС – 2, ED = СB – 1.
Получаем: х = 2х – 3, откуда х = 3, то есть ED = 3. Тогда АС = 5, СВ = 4. Периметр треугольника АВС равен сумме длин сторон АВ, ВС и АС. То есть 
.
Ответ: 12см
5. В равнобедренном треугольнике сумма двух углов равна 80°.Найти углы треугольника.
Решение:
Так как треугольник равнобедренный, то углы А и В равны.
Возможны два случая: А + В = 128° или А + С = 128°
1) Если А = В = х и А + В = 128°, то 2х = 128°, х = 64°, С = 180° – 128° = 52°
2) Если А = В = х и А + С = 128°, то так как А + В + С = 180°, получаем 
тогда 
, а С = 180° – 2·52°= 76°
Ответ: 64°, 64°, 52° или 52°, 52°, 76°