Нахождение площадей треугольников и четырехугольников
Теорема Вариньона.
Площади треугольников и многоугольников
Площади четырехугольников
ТЕОРЕМА. Площадь прямоугольника равна произведению его высоты на основание, то есть произведению его сторон.
ТЕОРЕМА. Площадь параллелограмма (в частности, ромба) равна произведению его высоты на основание.
ТЕОРЕМА. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.
ТЕОРЕМА. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (теорема верна для любого выпуклого четырехугольника).
ТЕОРЕМА. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту, или произведению ее средней линии на высоту.
ТЕОРЕМА. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения диагоналей.
Следствие: площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА. Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника.
Площадь треугольника
ТЕОРЕМА. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание.
Следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
ТЕОРЕМА. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.
ТЕОРЕМА. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
ТЕОРЕМА. (ФОРМУЛА ГЕРОНА) Площадь треугольника со сторонами а, в, с вычисляется по формуле 
, где 
ТЕОРЕМА. Площадь треугольника вычисляется по формуле 
, где а,b,с – стороны треугольника, а R – радиус описанной около треугольника окружности
ТЕОРЕМА. Площадь треугольника вычисляется по формуле 
, где , а,b,с – стороны треугольника, а r – радиус вписанной в треугольник окружности
Задания с решением
1.Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадь равна 50. Найдите второе основание трапеции.
Решение:
Пусть х – второе основание трапеции. Тогда по формуле площади трапеции получим:
.
Откуда (13+х)5 = 100; 13+х=20; х=7
Ответ: 7
2. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
Решение:
Проведем две высоты DK и CM. Они равны. Тогда, так как трапеция равнобедренная, то треугольники ADK и MCB равны по гипотенузе и катету. Тогда AK=MB.
KDCM – прямоугольник, поэтому KM=DC=7. Тогда AK=MB= 
По формуле площади трапеции найдем высоту DK. 
.
10 DK=40, DK= 4
Из треугольника ADK по теореме Пифагора найдем AD. 
Тогда 
Ответ: 20
3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45º.
Решение:
Построим высоту СК. Угол В равен 45º. Тогда и угол ВСК равен 45º. Тогда треугольник СКВ – прямоугольный и равнобедренный.
ACDK – прямоугольник, поэтому AK=DC=2.
Тогда СК=КВ=6 – 2=4
По формуле площади трапеции получаем 
Ответ: 16
4. Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.
Решение:
Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Если AD = 51, BD = 40 и AC = 74, то OD = 20, OA = 37.
Найдем полупериметр треугольника АОD: 
По формуле Герона
АС делит параллелограмм на 2 равных треугольника, а OD как медиана делит треугольник ADC на два треугольника равной площади. Следовательно, 
А 
Ответ: 1224
5. Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Периметр ромба равен 200. Найдите площадь ромба.
Решение:
Так как диагонали ромба относятся как 
, то обозначим АС=8х, а DВ=6х. Тогда DO=3x,OC=4x. Из треугольника DOC по теореме Пифагора (треугольник прямоугольный потому что диагонали ромба взаимно перпендикулярны) найдем, что DC= 
Периметр ромба равен 200, следовательно, DC=200:4=50. 4х=50, х=12,5
Тогда АС=8·12,5=100, а DВ=6·12,5=75.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Поэтому 
Ответ: 3750
6. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Решение:
Пусть АК и МС – высоты, АВ=9, ВС=6. МС=4.Тогда 
Получаем 
, откуда 6AK=36, AK=6
Ответ: 6
7. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол150º. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Так как углы АВС и ВАН – односторонние, значит, их сумма равна 180°, и тогда угол ВАН равен 30º. Из треугольника АВН найдем высоту ВН. Катет, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. Получаем, что ВН = 3,5 и 
42.
Ответ: 42
8. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырёхугольника.
Решение:
По теореме ВАРИНЬОНА четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, следовательно это ромб и его площадь равна 
, а площадь исходного четырехугольника равна 2·7=14
Ответ: 14
9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 
. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Достроим исходный треугольник до квадрата со стороной 6.
Площадь данного квадрата состоит из площади исходного остроугольного треугольника плюс площади двух прямоугольных треугольников с катетами 1 и 5 плюс площадь прямоугольного треугольника с катетами 6 и 6 и плюс квадрат со стороной равной 1. Обозначим площадь исходного треугольника за S.
Получаем уравнение: 
, откуда 
Ответ: 12