Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
И их значения от некоторых углов.
Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Если один из углов треугольника прямой, то это прямоугольный треугольник.
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника.
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника.
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника.
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника.
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к нему ее отрезком, то есть , где
ТЕОРЕМА. Медиана, выходящая из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы.
ТЕОРЕМА. Катет, лежащий против угла в 30°равен половине гипотенузы.
ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник прямоугольный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике сторона, лежащая против угла в 30° равна половине другой стороны, то треугольник прямоугольный.
Задания с решением.
1. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой, угол А равен 30°. На катете АС взята точка Е такая, что угол ВЕС равен 60°. Найти АС, если ЕС=8.
Решение:
Угол А равен 30°, значит угол В равен 60°. Угол ВЕС равен 60°, значит угол ЕВС равен 300.Тогда угол ЕВА равен 60° - 30° = 300 и значит треугольник АВЕ равнобедренный и АЕ=ЕВ. Из треугольника СВЕ следует, что ЕС=
ЕВ, как катет, лежащий против угла в 300°. Тогда ЕВ=2ЕС=16. АЕ=ЕВ=16. АС=ЕС+АЕ=16+87=24
Ответ: 24
2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 10; 24; 26?
Решение:
Большая сторона равна 26. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон. 262=676; 242 +102 =576+100=676. Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, значит треугольник прямоугольный.
3. Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 10см, и меньше гипотенузы на 10 см. Найти гипотенузу.
Решение:
Пусть АС = х, тогда ВС = х - 10, АВ = х+10. По теореме Пифагора АС2 +ВС2 =АВ2.
Получаем уравнение х2 +(х – 10)2 = (х + 10)2
х2 + (х2 _– 20х + 100) = х2 + 20х + 100
х2 – 40х = 0. х = 0 (что не возможно ) или х = 40
Ответ: 40
4. Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен . Найти его гипотенузу.
Решение:
Обозначим равные катеты треугольника за х, а гипотенузу за с. Тогда по теореме Пифагора получим х2 + х2 = с2. Откуда получаем 2х2 = с2; х2 = с2; х =
.
Найдем периметр и составим уравнение: +
+ c =
Умножим обе части на , получим: с+с+с
= 3
(
+1)
с(1+1+ )= 3
(
+1). Тогда с =
Ответ: 3
5. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны и
. Найти длину гипотенузы.
Решение:
Пусть ВС=а, АВ=в.АС=с. Применим теорему Пифагора к треугольникам СВТ и САМ.
Получим систему уравнений:
Тогда
Складывая уравнения почленно, получаем , откуда
, но
и значит
Ответ: 10.
6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна . Найти гипотенузу, если один из катетов равен 6.
Решение:
Из треугольника АВН по теореме Пифагора имеем ;
.
Откуда са = 4. Известно, Что если из вершины прямого угла на гипотенузу опущена высота, то каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к нему ее отрезком. Тогда а2 = c ∙ ca 36 = с · 4, с = 9.
Ответ: 9