Площадь поверхности тела вращения
Рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой вокруг оси
(рис. 8.13). Площадь этой поверхности, если
и
гладкая на
кривая определяется выражением
(8.15).
Пример 8.7. Найти площадь поверхности сферы, образованной вращением полуокружности вокруг оси
(рис.8.16).
Решение.
,
,
Приложения определенного интеграла в задачах физики и химии.
1. Работа переменной силы. Если переменная сила действует в направлении оси
, то работа, совершаемая этой силой по перемещению материальной точки на отрезке от
до
, равна
.
2. Путь, пройденный точкой. Если точка перемещается по некоторой траектории с переменной скоростью
, то путь, пройденный точкой за период времени от
до
, равен
3. Масса прореагировавшего вещества. Если – переменная скорость химической реакции (см. п. 1.1), то масса вещества, вступившего в химическую реакцию за промежуток времени от
до
, равна
.
4. Масса неоднородного стержня. Если дан тонкий неоднородный стержень с переменной линейной плотностью , и длина стержня равна
, то его масса определяется формулой
.
Несобственные интегралы.
8.5.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами).
Пусть функция определена на промежутке
и для любого вещественного числа
,
существует
называется несобственным интегралом 1 рода от функции
на промежутке
и обозначается символом
.
Таким образом, по определению,
(8.16.)
Если предел существует и конечен говорят, что несобственный интеграл (8.16) сходится; если конечного предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл (8.16) расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :
(8.17).
Несобственным интегралом от функции на промежутке
называется предел
при независимом стремлении и
:
(8.18)
Если для некоторого вещественного числа сходится каждый из несобственных интегралов
и
, то сходится и неопределенный интеграл
, причем
.
Пример 8.8. Вычислить
.
Решение. По определению несобственного интервала, имеем
, т.е.
сходится. Рассмотренный интеграл выражает площадь заштрихованной области на рис. 8.17.
Пример 8.9. Вычислить .
Решение. , т.е.
расходится.
Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интервал или расходуется, и оценить его значение. Сформулируем некоторые достаточные признаки сходимости.
1. Пусть для всех ,
, выполнено неравенство
.
Тогда: 1) если сходится, то сходится и
, при этом
.
2) если расходится, то расходится и
.
2. Если сходится, то сходится и
.
Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится
.
Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл
расходится.
Пример 8.10. Исследовать сходимость .
Решение. Заметим, что . Но
.
Следовательно, сходится. Значит, сходится и
.
8.5.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций).
Пусть функция определена на промежутке
, неограниченна на
, но ограничена на любом промежутке
,
. В этом случае точку
называют особой точкой. Предложим также, что
существует для любого вещественного числа
.
называется несобственным интегралом II рода от функции
на промежутке
и обозначается символом
.
Таким образом, по определению
(8.19).
Так как вещественное число
, можно представить в виде
, где
, то равенство (8.19) можно записать в виде
.
Если предел существует и конечен говорят, что несобственный интеграл (8.19) сходится.
В случае, если конечного предела не существует, говорят, что несобственный интеграл расходится.
Выясним геометрический смысл
. Если
непрерывна на промежутке
и
, то
есть площадь области, заключенной между осью абсцисс, графиком функции
и прямым
и
(заштрихованная область на рис. 8.18).
Аналогично определяется несобственный интеграл , если
особая точка:
.
Если особой точкой является точка внутри промежутка
, то полагают
.
При этом считают, что сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (8.20) .
Замечания. 1. Понятие несобственного интеграла II рода легко переносится на случай, когда функция имеет конечное число особых точек.
2. Основные выводы п.8.5.1. легко переносятся и на случай несобственных интегралов II рода.
Пример 8.11. Вычислить или доказать расходимость .
Решение. точка бесконечного разрыва подынтегральной функции)
(по определению несобственного интеграла второго рода)
. Интеграл расходится.
Пример 8.12. Попробуйте убедиться в том, что сходится.