Исследование функций и построение графиков
Целесообразно исследовать функцию по некоторой общей схеме, позволяющей последовательно изучить ее особенности. Можно рекомендовать такой порядок:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность, найти (если они существуют) точки разрыва и установить характер разрыва; найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
Отметим, что иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из особенностей функции. Может быть пополнен и перечень исследуемых характеристик (например вопросом о периодичности функции).
Первые две позиции более подробно рассмотрены в разделе 1.1. Обсудим третью – Точки пересечения графика с осями координат.
Пусть функция задана соотношением . Уравнения осей координат известны:
и
. Точки пересечения определятся как решения соответствующих систем уравнений:
(с осью
) и
(с осью
)
Пример 5.1.
Т.е. график функции пересекает ось в точках
.
т.е. график пересекает ось
в точке
.
Непрерывность функции и характер точек разрыва рассмотрены в разделе 2. Напомним, что элементарная функция непрерывна во всей области определения. Т.е. исследовать нужно границы области D(f) и выколотые точки.
Пример 5.2. . Функция существует всюду, кроме точки
. Рассмотрим пределы
и
.
Т.о. – точка разрыва 2-го рода (бесконечный разрыв).
Обсудим проблему асимптот ( и убедимся в том, что - уравнение вертикальной асимптоты).
Асимптотой графика называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.
Два вида асимптот – вертикальная и наклонная.
а) Вертикальной асимптотой кривой
называется прямая
(рис. 5.1), если выполнено хотя бы одно условий:
; (5.1) или
. (5.2)
Для отыскания вертикальной асимптоты графика функции надо найти те значения
, при которых функция обращается в бесконечность. Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение
.
б) Наклонной асимптотой кривой называется прямая (рис 5.2), имеющая уравнение
, если параметры
и
находятся по формулам:
, (5.3) и
,(5.4)
Замечания:
1) Если хотя бы один из пределов не существует (или равен ), то график функции
асимптоты при
не имеет.
2) Частным случаем наклонной асимптоты при и
является горизонтальная асимптота (уравнение
).
3) Если и
, то горизонтальной асимптотой является ось
.
4) Аналогично находятся асимптоты при
.
Заметим, что пределы (5.3) и (5.4) могут быть различными при и
, т.е. график функции может иметь две различные наклонные асимптоты при
и
(рис. 5.3, где
асимптоты при
,
при
).
Продолжим обсуждение примера 5.2. Очевидно, что действительно уравнение вертикальной асимптоты. Проверим, существуют ли наклонные асимптоты. По формуле (5.3)
По формуле (5.4)
Прямая наклонная асимптота (при
и
) .
Пример 5.3.
Функция не имеет вертикальных асимптот, т.к. она всюду непрерывна (не имеет разрывов).
Наклонная: ,
, т.е при
кривая не имеет наклонной асимптоты;
(применено правило Лопиталя).
Итак, прямая (ось
) есть горизонтальная асимптота при
.
Интервалы монотонности (возрастания и убывания функции) и её экстремумы.
Функция называется монотонно возрастающей на интервале
, если для любых
из этого интервала выполнено условие
при
Функция называется монотонно убывающей на интервале
, если для любых
из этого интервала выполнено условие
при
Дифференцируемая функция является монотонно возрастающей на интервале тогда и только тогда, когда
при
, (5.5)
и является монотонно убывающей, если при
, (5.6)
Условие (5.5) геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси острый угол или параллельна ей. Касательная к графику монотонно убывающей функции образует тупой угол с положительным направлением оси
или параллельна ей.
Экстремумы функции – максимум и минимум.
Функция имеет максимум или минимум в точке
(локальный экстремум), если существует окрестность (
;
), для всех точек которой выполнено условие
для максимума или
для минимума. Точка максимума или минимума называется точкой экстремума.
Точка называется критической точкой первого рода, если:
1) (касательная к графику параллельна оси
);
2) (касательная параллельна оси
);
3) не существует (нет определенной касательной, например, как в угловой точке).
Наличие критической точки это необходимое условие экстремума.
Достаточным условием экстремума функции является перемена знака первой производной при переходе через критическую точку.
Отсюда правило исследования функции на экстремум:
1) Найти производную и критические точки, в которых
, или
, или
не существует, а сама функция непрерывна, и которые принадлежат области определения функции.
2) Определить знак слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе аргумента через критическую точку
:
1) меняет знак с «+» на «-», то
точка максимума;
2) меняет знак с «-» на «+», то
точка минимума;
3) не меняет знак, то в точке
нет экстремума.
Далее следует найти экстремумы функции, т.е. вычислить значение функции в найденных точках экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Для отыскания этих точек на отрезке необходимо найти критические точки, принадлежащие этому отрезку и, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 5.4. Определить интервалы монотонности функций:
1) 2)
1) Данная функция всюду имеет производную
При ,
, поэтому, в силу условия (5.5), функция возрастает на интервале
.
При и, по условию (5.6) убывает на интервале
2) Функция имеет производную всюду, кроме точки
, в которой сама функция не определена. На каждом из интервалов
и
определим знаки производной
. Имеем
,
Для определения знака , выделим точки
, в которой
и
, в которой
. Итак, имеем три интервала
,
и
. На интервале
производная
, на интервале
, на интервале
. Таким образом, функция убывает на интервалах
и
и возрастает на интервале
Пример 5.5. Найти точки экстремума функции:
Функция и её производная существует всюду, поэтому определим критические точки из условия
. Продифференцируем функцию как произведение двух функций:
.
Из условия находим, приравнивая нулю каждый множитель отдельно, критические точки (необходимое условие экстремума):
;
;
.
Исследуем критические точки, определяя знак слева и справа от этой точки (первое достаточное условие экстремума). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в таблицу:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | - | + | - | + | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
В первой строчке помещены интервалы и критические точки в порядке расположения их на числовой оси. Во второй строке помещены знаки производной в промежутках между критическими точками. Например, берем и находим
,т.е.
на интервале
, аналогично
на интервале
и
при
, и
при
. В третьей строке – заключение о поведении функции. С использованием условий (5.7) получаем, что в точках
и
функция имеет минимум, а в точке
- максимум. Вычислим значения функции в этих точках:
;
,
.
Пример 5.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
.
Найдем критические точки функции , лежащие внутри отрезка
:
.
Эти точки лежат внутри отрезка .
Вычислим значения функции на концах отрезка :
,
и в критических точках:
,
.
Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции на отрезке
, а наименьшее
. Итак, наибольшее значение при
функция принимает на правом конце отрезка при
, а наименьшее значение достигается в двух точках, в точке минимума функции и на левой границе отрезка, при
.