Внесение под знак дифференциала и метод подстановки

Соотношение позволяет один из сомножителей подынтегральной функции внести под знак дифференциала (если мы знаем его первообразную) и затем применить табличный интеграл.

Пример 7.3.

Подстановка (замена переменной) основана на справедливости соотношения (7.1) называемого формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 7.4. обозначим ; Продифференцируем обе части равенства и

Плодотворной в ряде случаев бывает и подстановка вида ( непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную ).

В этом случае и и если , то

Получаем вторую формулу замены переменной (7.2)

Пример 7.5. обозначим , .

Тогда ; (дифференцируем обе части равенства – каждую по своей переменной). Получаем:

.

Возвращаясь к исходной переменной получаем (для второго слагаемого)

и окончательно: .

7.3.Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен.

При интегрировании выражений, содержащих квадратный трёхчлен, главным моментом является выделение полного квадрата:

после этого чаще всего необходимо сделать замену: (впрочем, данную замену можно применить и не выделяя полного квадрата).

Пример 7.6. Вычислить интеграл .

Решение:

.

Отметим, что возможные подстановки весьма разнообразны и определяются особенностям задачи.

 

7.4. Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов (к, n – степени многочленов).

Будем предполагать, что многочлены и не имеют общих корней.

Рациональная дробь называется правильной, если к<n, и неправильной, если .

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:

, .

Пример 7.7. , т.к.

 

 
 


-

 


Интегрирование многочлена не составляет труда. Рассмотрим интегрирование правильных дробей.

Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих видов:

1. ;

2. , >1, ( – целое число);

3. , где , т.е. квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней;

4. , где , >1, ( – целое число).

Вычислим интегралы от простейших дробей. Дроби вида 1 и 2 интегрируются элементарно:

;

.

Для вычисления интеграла от дроби вида 3 представим квадратный трёхчлен в виде .

Так как по условию , обозначим и сделаем подстановку . Тогда . Таким образом, получим

.

Интеграл от дроби вида 4 с помощью несложных преобразований приводится к виду, позволяющему последовательно применять рекуррентную формулу:

(7.1)

 

Любую правильную дробь единственным образом можно разложить на сумму простейших дробей.

Алгоритм разложения:

1. Привести дробь к правильному виду (далее в данном алгоритме будем рассматривать только правильную дробь).

2. Разложить знаменатель дроби на простейшие множители.

3. Представить дробь в виде суммы всевозможных различных простейших дробей, в знаменателях которых стоят множители знаменателя, а в числителях – соответствующей степени многочлены с неопределёнными коэффициентами.

! Контроль. Число неопределённых коэффициентов должно равняться степени многочлена в знаменателе исходной дроби.

4. Привести сумму простейших дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем является знаменатель исходной дроби.

5. Приравнять числители получившейся и исходной дробей, вычислить коэффициенты. Для этого можно воспользоваться двумя способами: 1) приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х в многочленах в правой и левой частях равенства; 2) подставить вместо х конкретные числовые значения (в первую очередь – корни знаменателя). Лучше всего комбинировать эти два способа.

Пример 7.8. Вычислить интеграл .

Решение:

приравниваем числители

подставим полученные коэффициенты

.