Модель Леонтьева межотраслевого баланса
Постановка задачи. Пусть имеется n отраслей промышленности, каждая из которых производит продукцию, которая идет как для внутреннего потребления данной отраслью и другими отраслями, так и для конечного личного или общественного потребления. Обозначим хi – общий (валовый) объем продукции i-отрасли, хij – объем продукции i-отрасли, потребляемой j-отраслью, yi – объем конечного продукта i-отрасли. Имеем соотношение баланса:
Введем коэффициенты прямых затрат 
. Если считать, что эти коэффициенты постоянны в течение некоторого периода времени, то xij = aij xj , и соотношение баланса примет вид:
или в матричном виде Х = А٠Х + У.
Задача состоит в нахождении такого вектора Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает конечный продукт У.
Решая полученное матричное уравнение, находим Х = (Е–А)–1 У.
Матрица (Е – А)–1 называется матрицей полных затрат.
Чтобы матричное уравнение было разрешимо, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Есть несколько критериев продуктивности матрицы. Например, если максимум сумм элементов столбцов не более 1 и хоть одна сумма строго меньше 1, то матрица продуктивна.
Пример 1.9. Решение задачи поиска межотраслевого баланса[3, c. 99 – 104].
Имеется две отрасли производства, в таблице 1.9 указаны объёмы производства и потребления.
Таблица 1.9
| Производство | Потребление | Конечный продукт | Валовый продукт | |
| Энергетика | Машиностроение | |||
| Энергетика | ||||
| Машиностроение |
Необходимо вычислить объем валового выпуска продукции каждой отрасли, если конечный продукт 1-й отрасли должен увеличиться в 2 раза, 2-й на 20 %.
Из таблицы 1.9 имеем:
х1 = 500, х2 = 400, у1 = 240, у2 = 85, х11 = 100, х21 = 275, х12 =160, х22 = 40.
Построим матрицу прямых затрат:
а11 = 
= 
= 0,2; а12 = 
= 
= 0,4;
а21 = 
= 
= 0,55; а22 = 
= 
= 0,1.
А = 
, Е –А = 
– 
= 
.
Проверим матрицу А на продуктивность:
0,2 + 0,55 = 0,75 < 1, 0,4 + 0,1 = 0,5 < 1, т. е. матрица А продуктивна.
Найдем обратную к ней. Вычислим определитель:
0,8٠0,9 –0,55٠ 0,4 = 0,5.
Тогда, 
Вычислим по данным условия задачи новый вектор конечного продукта
У = (У1, У2):
У1 = 240٠2 = 480, У2 = 85 ٠(1+ 0,2) = 102. Имеем Унов = 
Тогда Х = 
= 
.
1.15. В таблице 1.10 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.
Таблица 1.10
| Отрасль | Потребление | Конечный продукт | Валовый продукт | ||
| Сфера обслуживания | Лёгкая промышленность | ||||
| Произ-водство | Сфера обслуживания | ||||
| Лёгкая пром-ть |
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление сферы обслуживания увеличится вдвое, а лёгкой промышленности сохранится на прежнем уровне.
1.16. Продуктивна ли матрица А:
1) 
2) 
.
1.17. Экономика разделена на три отрасли. В таблице 1.11 заданы коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей.
Таблица 1.11
| Отрасль | Потребление | Конечный продукт | |||
| Сфера обслуживания | Лёгкая промышленность | Сельское хозяйство | |||
| Произ-водство | Сфера обслуживания | 0,3 | 0,25 | 0,2 | |
| Лёгкая промышленность | 0,15 | 0,12 | 0,03 | ||
| Сельское хозяйство | 0,1 | 0,05 | 0,08 |
Найти объем валовой продукции каждой отрасли, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.
1.18. Дана матрица полных затрат 
Найти приращение валового выпуска ∆Х, обеспечивающее приращение конечной продукции ∆У = (10, 30, 20).
1.19. Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид:
Х = 
А = 
Пользуясь моделью Леонтьева, найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.
1.20. Данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый промежуток времени даны в таблице 1.12. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить соответственно:
1) до 60, 70 и 30 единиц;
2) на 30, 10 и 50 %.
Решить задачу методом обратной матрицы.
Таблица 1.12
| № п/п | Отрасль | Потребление отрасли | Конечный продукт | Валовый выпуск | ||
| Добыча и переработка углеводородов | ||||||
| Энергетика | ||||||
| Машиностроение |
Контрольные задания
Вариант 1.
1. Решить матричное уравнение:
.
2. Решить систему методом Крамера:
3. При каких значениях параметра к система не имеет решений, имеет бесконечно много:
4. Решить методом Гаусса:
Вариант 2.
1. Продуктивна ли матрица:
2. Решить систему матричным методом:
3. Решить методом Гаусса:
4. Решить задачу.
В первенстве России по футболу Спартак и Динамо вместе набрали на 11 очков больше, чем удвоенное число очков ЦСКА, утроенное число очков Динамо на 2 очка меньше, чем сумма удвоенного числа очков Спартака и ЦСКА. Известно, что число очков, набранных каждой командой, лежит в диапазоне от 15 до 25. Найти количество набранных каждой командой очков.
Вариант 3.
1. При каком значении m матрица не имеет обратной:
2. Решить систему матричным методом:
3. Решить методом Гаусса:
4. При каких значениях параметров а, в, с система имеет решение
x = 2, y = 1, z = 3:
Векторная алгебра
В этом параграфе рассматривается привычное понятие вектора, алгебраическая и геометрическая интерпретация операций над векторами, вводится обобщающее понятие векторного пространства как множества объектов разной природы, для которых заданы алгебраические операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее определенным свойствам [3, c. 130].