Применение определенного интеграла

В экономике

Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов равен

где – функция ежегодного дохода;

i – удельная норма процента;

T – время начисления дохода.

2.62. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке I %, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд руб.:

1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.

Среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до изделий равно

,

где функция t = t(x) часто имеет вид

где а – затраты времени на первое изделие;

b – показатель производительности процесса.

2.63. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если:

1)

2)

 

 

Несобственные интегралы

 

.

 

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Примеры.

интеграл сходится.

2) – не существует, интеграл расходится.

интеграл сходится.

2.64. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1) 2) ; 3) ; 4) 5) ;

6) ; 7) 8) 9) 10)

2.65. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

 

Функции нескольких переменных

Определение. Областью определения функции называется множество точек плоскости Оху, в которых функция определена.

Линия уровня функции задается уравнением z = C или .

Пример 2.7.

Найти область определения функции:

1. 2.

Решение.

1. Область определения задается условием: 9 – x2 – y2> 0 или x2 + y2< 9, т. е. представляет собой незамкнутый круг с центром в начале координат радиуса 3.

2. Имеем: x – y ≥ 0 или y ≤ x, т. е. область определения – это полуплоскость, лежащая ниже прямой y = x,и сама прямая.

2.66. Построить область определения функции:

2.67. Найти линии уровня функций:

 

Частные производные, дифференциал,

Градиент функции

 

Определение. Частные производные функции z = z(x, y):

 

 

если пределы существуют.

Определение. Дифференциалом функции z = z(x, y) называется выражение

 

Определение. Градиентом функции z = z(x, y) называется вектор

Пример 2.8.

Найти частные производные и (или и ) функции

Решение.

2.68. Найти и :

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):

1) если

2) если

2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:

1) 2)

3) 4)

2.71. Найти модуль градиента функции:

1) в точке А(1; –2; 0);

2) в точке А(0; 1; –2).

Частные производные 2-го порядка.

Исследование функции на экстремум

Пример 2.9.

Найти частные производные второго порядка функции
z = x2y3+2y.

Решение.

= = = 2y3 = 2y3,

= = = 2х = 6xy2,

= = =3y2 = 6xy2,

= = = 3х2 = 6x2y.

2.72. Найти частные производные второго порядка :

1) 2)

3) 4)

2.73. Доказать, что если то

Схема исследования функции z = z(x, y) на экстремум:

1. Найти частные производные , и решить систему уравнений

Решениями системы будут критические точки функции.

2. Найти частные производные 2-го порядка.

3. Для каждой критической точки вычислить определитель

Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.

Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.

Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).

4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z(x, y).

Пример 2.10.

Производятся два вида товаров, в количествах х ед. и y ед. Пусть 8 и 10 ден. ед. – цены на эти товары соответственно, а S = x2 + xy + y2 – функция затрат. Определить оптимальный выпуск товаров, при котором предприятие получит максимальную прибыль.

Решение.

Функция прибыли имеет вид:

П(х, y) = 8х + 10y – x2 – xy – y2.

Вычислим частные производные первого порядка:

Пх΄ = 8 – 2х – y, Пy΄ = 10 – х – 2y.

Найдем критические точки функции как решение системы уравнений

получаем точку (2; 4).

Найдем частные производные второго порядка:

= –2, = = –1, = –2.

Так как и = –2 < 0, то в точке (2;4) функция прибыли имеет максимум: Пmax = П (2; 4) = 28.

Следовательно, для получения максимальной прибыли в 28 денежных единиц необходимо произвести 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида.

2.74. Исследовать функцию на экстремумы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

2.75. Производственная функция (в ден. ед.) имеет вид где х и у – количество ед. соответственно 1-го и 2-го ресурсов. Стоимость ед. первого ресурса – 5, а второго – 10 (ден. ед.). Найти максимальную прибыль при использовании этих ресурсов.

2.76. Как распределить сумму в $10 млн между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле: где – инвестируемая сумма?

2.77. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:

1) АВО: А(–5; 0), В(0;–5), О(0; 0);

2) АВС: А(2; 0), В(0; 2), С(0;–2).

2.78. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.