Основы теории зубчатого зацепления

Профили зубьев пары колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответство­вать вполне определенный профиль зуба другого колеса. Чтобы обеспечить постоянство передаточного числа, профили зубьев зацеплениянужно очертить такими кривыми, которые удовлетворяли бы требованиям основной теоремы зацепления.

Для доказательства теоремы рассмотрим пару сопряженных зубьев в зацеплении (рис. 85). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке S, называе­мой точкой зацепления. Центры вращения Ο1и О2рас­положены на неизменном расстоянии аω друг от друга. Зуб шес­терни, вращаясь с угловой скоростью ω1, оказывает силовое действие на зуб колеса, сообщая последнему угловую скорость ω2.Проведем через точку S общую для обоих профилей касатель­ную ТТи нормаль NN.Окружные скорости точки Sотносительно центров вращения Ο1и О2 определяться как v1 и v2.

Рис. 85. Схема к доказательству основной теоремы

Разложим и на составляющие и по направлению нормали NN и составляющие и по направлению касательной ТТ.Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблюдение условия = в противном случае при < зуб шестерни отстанет от зуба колеса, а при > произойдет вреза­ние зубьев. Опустим из центров Ο1и О2перпендикуляры Ο1Βи О2С на нормаль NN.

Основная теорема зацепления.

Из подобия треугольников ΔaSeи ΔBSO1 / = 01B/01S,откуда

Из подобия треугольников ΔaSf и ΔCSO2 / = O2C/O2S,отку­да Но = , следовательно, ω1·O1B = ω2·O2C.

Передаточное число

Нормаль NNпересекает линию центров Ο1Ο2в точке П,назы­ваемой полюсом зацепления. Из подобия треугольников ΔО2ПС и ΔΟ1ΠΒ

Сравнивая отношения (1) и (2), получаем

Таким образом, основная теорема зацепления формулирует­ся: для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профили их зубьев должны очерчиваться по кривым, у кото­рых общая нормаль ΝΝ, проведенная через точку касания профи­лей, делит расстояние между центрами Ο1Ο2 на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Полюс зацепления Π сохраняет неизменное положение на линии центров О1О2,следовательно, радиусы rw1 и rw2 также неизменны.

Окружности радиусов rw1 и rw2 называют начальными. При вращении зубчатых колес начальные окружности перекаты­ваются друг по другу без скольжения, о чем свидетельствует равенство их окружных скоростей ω1 rw1 = ω2 rw2,полученное из формулы (13.3).

Вытекающее из формулы равенство окружных ско­ростей свидетельствует о том, что при вращении зацепленных зубча­тых колес окружности радиусов rw1и rw2 перекатывают друг по другу без скольжения. Эти окружности называются начальными, а соответ­ствующие им цилиндры в цилиндрической зубчатой передаче и конусы в конической зубчатой передаче — начальными цилиндрами и началь­ными конусами.

Из вышеизложенного следует, что начальная окружность проходит через полюс зацепления и катится по другой начальной окружности без скольжения. Диаметр начальной окружности обозначается dw и назы­вается начальным диаметром зубчатого колеса.

Из всего многообразия сопряженных профилей зубьев наиболее распространены эвольвентные, которые отличаются простотой и удоб­ством изготовления зубьев и допускают возможность изменения в известных границах межосевого расстояния передачи без нарушения правильности зацепления зубчатых колес. Профили зуба эвольвентного зацепления образуются двумя симметричными эвольвентами.

Эвольвентой называется кривая, описываемая какой-либо точкой, лежащей на прямой линии, пе­рекатываемой по окружности без скольжения. Перекатываемая по окружности прямая называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая,—
основной окруж­ностью.

Рис. 86.

Эвольвента окружности.

Единственный параметр, определяющий эвольвенту,— диаметр основной окружности db (рис. 86,), так как каждой данной окруж­ности соответствует только одна определенная эвольвента. С увеличе­нием db эвольвента становится более пологой и при db=∞обращается в прямую линию. Поэтому в реечном зацеплении профиль зуба рейки прямолинейный. Так как эвольвента не может ока­заться внутри основной окружности, то профиль зуба по эвольвенте выполняется только вне основной окружности, а часть профиля, расположенная внутри нее, получает соответствующую форму в про­цессе изготовления зубьев.

Из множества кривых, удовлетворяющих требованиям основ­ной теоремы зацепления, практическое применение в современ­ном машиностроении получила эвольвента окружно­сти, которая:

а) позволяет сравнительно просто и точно получить профиль зуба в процессе нарезания;

б) без нарушения правильности зацепления допускает неко­торое изменение межосевого расстояния aw (этоизменение может возникнуть в результате неточностей изготовления и сборки).

Эвольвентой окружности называют кривую, которую описывает точка S прямой NN, пе­рекатываемой без скольжения по окружности радиуса rb. Эта окружность называется эволютой или основной окружно­стью, а перекатываемая прямая NN — производящей прямой.

Характер эвольвентного зубчатого зацепления определяется свойствами эвольвенты.

1. Производящая прямая NN является одновременно каса­тельной к основной окружности и нормалью ко всем производи­мым ею эвольвентам.

2. Две эвольвенты одной и той же основной окружности эквидистантны. Эквидистантными (равноудаленными) называются две кривые, расстояние между которыми в направлении нормали везде одинаковое..

3. С увеличением радиуса rb основной окружности эвольвен­та становится более пологой и при rb →∞ обращается в прямую,

4. Радиус кривизны эвольвенты в точке S2равен длине дуги SoB основной окружности. Центр кривизны эвольвенты в данной точке находится на основной окружности.