Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки

 

Рассмотрим систему материальных точек массами m1 , m2 , …, mn движущихся со скоростями υ1 , υ2 , …, υn . Пусть на каждую из этих

 

точек действуют: равнодействующие внутренних сил Fr1i , Fr2i , …, Fni ,

и равнодействующие внешних сил F e , F e , …, F e .      
              n      
Запишем уравнения движения частиц:          
m dυr r e ri , … m dυ n re r i . (4.3.3)  
= F + F dt = F + F  
dt   n   n n      

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствую-щий радиус-вектор и получим


 


          r         r e       ri      
m r × d υ   r     r     ,  
  r   = r × F + r × F  
    dt   1   1        
                                 
………..,                          
          r           r e     ri    
  r     d υ n r   r    
m   r ×       = r   × F   + r × F   .  
             
n n     dt     n n   n   n  
                                   

Преобразуем данные уравнения

 

dtd [ rr1 × m1υr1 ] = rr1 × Fr1e + rr1 × Fr1i , dtd [ rrn × mn υr n ] = rrn × Frne + rrn × Frin .

Сложим эти уравнения и получим

d n r r n r r e   n r ri    
  ∑ [ ri × mi υi ] = ∑ ri × Fi   + ∑ ri × Fi .  
   
dt i =1     i =1       i=1        

 

 

(4.3.4)

 

 

(4.3.5)

 

 

(4.3.6)


В последнем уравнении:

n r r ] = dL − есть момент импульса системы,    
∑[ ri × mi υi dt    
i=1                  
n r r   n r   − сумма моментов внутренних сил,    
∑ ri × Fi i = ∑Mii    
i =1     i=1              
n r r   n r   − сумма моментов внешних сил.    
∑ ri × Fi e = ∑Mie    
i =1     i=1              
    Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде    
              dL n r i n r e (4.3.7)  
              dt = ∑ M i + ∑Mi .  
              i =1 i=1    

 

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновеши-вают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой

n r

системы всегда равна нулю, т. е. ∑Mii = 0 , получим основное уравне-

 

i=1

 

ние динамики вращательного движения относительно точки (илииначе закон изменения момента импульса механической системы)

dL n r e (4.3.8)  
dt = ∑Mi .  
i=1      

 


Производная по времени от момента импульса системы относи-тельно точки равна сумме моментов внешних сил относительно этой точки.

 

Закон сохранения момента импульса

    n r    
Если момент внешних сил ∑Miе = 0 , то получим    
  dLr i=1      
  = 0 или L = const (4.4.1)  
  dt  
         

 

закон сохранения момента импульса.

 

Если момент внешних сил действующих на механическую сис-тему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изме-няется.

 

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент им-пульса − аналогом импульса.

 

Законы изменения и сохранения момента импульса механиче-ской системы можно применить и к вращательному движению твер-дого тела.

 

Момент инерции

 

Моментом инерции твердого тела относительно данной осиназывается физическая величина, являющаяся мерой инертности те-ла во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме про-изведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

 

n

∑mi Ri2 = I z . (4.5.1)

 

i=1

 

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I] = 1 кг · м2.

 

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое те-ло, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает опреде-ленным моментом инерции относительно любой оси.

 

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) сле-дует заменить на интегрирование:


 

 


Iz =∫ R 2dm =∫ρR 2dV , (4.5.2)

 

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.