Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания

 

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

= A (t ) = eβT (5.7.1)  
A ( t +T )  

и называется декрементом затухания.

 

Для характеристики колебательной системы обычно использу-

 

ется логарифмический декремент затухания, т. е. логарифм декре-

 

мента затухания

 

δ = ln = ln A(t ) =βT . (5.7.2)  
A( t +T )  


 


Скорость затухания колебаний определяется величиной называ-

 

ем коэффициентом затухания β = 2μm .

Найдем время, называемое временем релаксации τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз

 

  A ( t ) = e ⇒ A0 e−β t   = e βτ = e1 ⇒ βτ = 1 ⇒ τ = 1 .(5.7.3)  
  A ( t + τ) A0 e−β( t +τ) β  
               
Следовательно,                    
        β= 1 ,     (5.7.4)  
            τ          

 

т. е . коэффициент затухания обратен по величине промежутку време-ни, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

 

За время релаксации τ система успевает совершить Ne = Tτ ко-

лебаний

  Ne = τ = τβ = 1 . (5.7.5)  
  T δ  
          δ    
Следовательно, δ = логарифмический декремент затухания  
   
  Ne              
                   

обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

 

Для характеристики колебательной системы используется ве-личина

 

Q = π = πNe , (5.7.6)
  δ    

которая называется добротностью колебательной системы.

 

Величина Q, пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний умень-шается в е раз.

 

Вынужденные колебания

 

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда вы-веденная из положения равновесия система совершает колебания бу-дучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систе-


 


му, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F = F0 cos ωt . Колебания, возникающие под

 

действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями.В этом случае уравнение второго законаНьютона имеет вид

 

      ma = − kx − μυ+ F0cosωt .       (5.8.1)  
Учитывая, что a = d 2 x , а υ= dx и разделив на массу m, получим  
dt dt  
                                         
    d 2 x   μ dx   k x     F   cos ωt .      
    dt2 +         +     =       (5.8.2)  
    m dt m          
              m          
Применив обозначения   k = ω2 ,   μ   = 2β и F0 = f   получим  
                m     m       m    
  d 2 x + 2β dx     = f   cos ωt −   (5.8.3)  
            +ω x    
  dt2       dt                          
                                       
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.    
Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде      
          x = Acos(ω t +ϕ)       (5.8.4)  

 

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с час-тотой внешней вынуждающей силы.

dx d 2 x +ϕ).    
dt = − Aω sin ( ωt +ϕ ) ; dt2 = − Aω cos(ωt (5.8.5)  
Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)        
− Aω2 cos(ωt +ϕ ) − 2β Aω sin(ωt +ϕ ) +ω2 A cos(ωt +ϕ ) = f cosωt . (5.8.6)  
         
(Aω02 − Aω2 ) cos(ωt +ϕ ) − 2β Aω sin (ω t +ϕ ) = f 0 cos ωt . (5.8.7)  

 

cos (ωt +ϕ ) = cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ; sin ( ωt +ϕ ) = cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ .

 

(Aω02 − Aω2 ) (cos ωt cos ϕ − sin ω t sin ϕ ) − −2β Aω ( cos ω t sin ϕ+ sin ω t cos ϕ ) = f 0 cos ωt


 

(5.8.8)

 

(5.8.9)


 


Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, что-бы коэффициенты при cos ωt и sin ωt были равны нулю.

 

(Aω02 − Aω2 ) cos ϕ − 2β Aω sin ϕ= f0 и     (5.8.10)  
  − ( Aω02 − Aω2 ) sin ϕ − 2β Aω cos ϕ= 0      
         
Из выражения (71) получаем                                  
          tgϕ= −     2βω .             (5.8.11)  
                           
                        ω − ω                      
                                                     
Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим          
  ( Aω02 − Aω2 ) 2 + ( 2β Aω ) 2 = f02 .       (5.8.12)  
      )                        
  A ( ω0 − ω   + 4β   ω   = f0   ⇒        
                                                       
  ⇒ A =                 f02           ⇒        
    ( ω02 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2          
  ⇒ A =                   f0           .       (5.8.13)  
                    ω        
                                           
                ω − ω       + 4β              
                                                       
Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64)  
получим уравнение вынужденных колебаний                
x =       f0                         ω t − arctg 2βω   . (5.8.14)  
                          cos        
                        ω2 − ω2  
          ω                          
  ω0 − ω + 4β                          

5.9. Резонанс

 

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте ам-плитуда колебаний достигает максимального значения.

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных коле-баний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом, а соответствующая частота − резонансной частотой.


 

 


Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных коле-баний будет max, когда выражение (ω02 − ω2 ) 2 + 4β 2 ω2 в уравнении

 

A =       f0       (5.8.13) будет минимальным.    
( ω02 − ω2 )2 + 4β 2 ω2      
    Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю  
    d 2 2      
      ( ω0 − ω )   + 4β ω   = 0 ⇒ −2 ( ω0 − ω ) 2ω+ 8β ω= 0 ⇒  
         
  dω                     . (5.9.1)  

⇒ ω −ω02 +ω2 + 2β 2 = 0

 

Полученное уравнение имеет три решения: ω= 0 и ω= ± ω02 − 2β2 . Первое решение соответствует максимуму знамена-

теля. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физическо-го смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, ре-зонансная циклическая частота

ω = ω2 − 2β2 . (5.9.2)
рез    

 

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

 

Aрез = f0   . (5.9.3)  
2β ω2 −β2  
         

Из последнего уравнения (5.9.3) следует , что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бес-конечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же усло-виях (при β = 0), совпадала бы с собственной частотой колебаний сис-темы ω0.

 

ωрез =ω0 . (5.9.4)

 

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответст-вии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β, тем выше и правее ле-жит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокуп-ность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значе-ниям параметра β, называется резонансными кривыми.


 


При стремлении А      
ω к нулю все кривые     β1 < β2 < β3    
приходят к одному и        
тому же, отличному от          
нуля, предельному зна-     β1    
чению, равному f   ω2 .        
         
        β2    
Это значение представ-        
ляет собой смещение из     β3    
положения равновесия,        
которое получает сис- f0        
тема под действием по-        
стоянной силы величи- ω02 ω0 ω  
ны F0 . стремлении     Рис. 5.9.1    
При          

ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направ-ление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

 

Наконец, отметим, что чем меньше β, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается

максимум. При малом затухании (т. е. β<< ω0 ) амплитуда при резо-нансе приближенно равна Aрез ≈ f0 2βω0 . Разделим это выражение на смещение х0 из положения равновесия под действием постоянной

силы F0 , равное x = f ω2 . В результате получим    
                               
    Aрез     f   ω2   ω   2π   π = Q ,    
        =       = =   =   (5.9.5)  
    x 2βω f 2β T δ  
          2β          
                                 

где δ = β Т – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – доб-ротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз ам-плитуда в момент резонанса превышает смещение системы из поло-жения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это спра-ведливо лишь при небольшом затухании.