Скорость распространения волн в различных средах

 

Для определения скорости упругих волн в упругой среде рас-смотрим продольную плоскую волну, распространяющуюся в на-правлении оси 0х. Выделим в среде цилиндрический объем с площа-дью основания S0 и высотой dx. Смещения S частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными. Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени сме-щение S, то смещение основания с координатой x + dx будет S + dS. Тогда, рассматриваемый объем деформируется и получает удлинение dS или относительную деформациюε=∂S/∂x (деформации растяже-ния). Наличие деформации свидетельствует о существовании нор-мального напряжения σ, которое при малых деформациях пропор-ционального величине деформации. По закону Гука для деформации растяжения − сжатия


 

 


σ = F = E ε = E ∂S , (6.4.1)  
  ∂x  
  S 0      

где Е − модуль Юнга среды.

 

Из зависимости смещения от координаты х видно, что относи-тельная деформация ∂S/∂x, а также, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х . В соответствии с этим, продольная вол-на состоит из чередующихся разрежений и сжатий среды.

 

Теперь для цилиндрического объема запишем уравнение движе-ния. Масса этого объема

 

dm =ρS 0dx . (6.4.2)

 

где ρ − плотность недеформированной среды.

 

Ввиду малости dx можно считать ускорение всех точек цилинд-ра одинаковым и равным

 

a = d 2S dt2. (6.4.3)

Тогда этот участок объема будет растянут под влиянием сил F1 и F2 , приложенных к основаниям цилиндра в данный момент време-ни. Силы, действующие на левое и правое основание цилиндра равны, соответственно

                F =σ S   = E ε S   = E ∂S       S                            
                                                   
                                        ∂x   x                            
                                                              .                     (6.4.4)  
                                                                                   
            F =σ       S       = E ε S         = E ∂S         S                      
                                                         
                                                 
                                      ∂x   x +dx                          
                                                                                     
После разложения силы F2 в ряд, получим                                        
    ∂S           ∂S                 ∂ ∂S                     ∂S         ∂2S            
                                                     
                                                   
F = ES         = ES         +                     dx = ES           +           dx , (6.4.5)  
                                                 
                                                                           
    ∂x   x +dx     ∂x   x         ∂x ∂x     x               ∂x   x     ∂x         x    
                                   
                                   
                                                             
и результирующая F1 , F2 сил, действующая на элемент объема равна  
  F = F − F = ES     ∂S         +   ∂ 2 S           − ES   ∂S   = ES   ∂2S     dx . (6.4.6)  
                               
      ∂x           ∂x 2 dx     ∂x     ∂x            
                                                           
                      x               x                     x                       x    

Используя основное уравнение динамики поступательного дви-жения (2.1.2) и, подставив значения массы, ускорения и силы, получим


 


  ρ S dx ∂ 2 S = S E ∂2S dx ⇒      
  ∂t 2 ∂x2      
  ∂ 2 S         ∂2S . (6.4.7)  
ρ = E ∂ 2 S ⇒   ρ ∂2 S =  
               
∂t 2 ∂x 2   E ∂t 2 ∂x2    
                 

Из сравнения этого уравнения с волновым уравнением для пло-

ской волны (6.3.6) ∂2 S = 1 ∂2S , получим

∂x 2 υ 2 ∂t2

 

= ρ ⇒ υ= E , (6.4.8)  
υ2 E ρ  
         

где Е − модуль Юнга.

 

Полученное уравнение определяет фазовую скорость продоль-

 

ных упругих волн.

Если проделать аналогичные преобразования для поперечных упругих волн, то фазовая скорость поперечных упругих волн будет иметь следующий вид

 

υ= G , (6.4.9)
  ρ    

где G − модуль сдвига.


 

 


МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Лекция № 10

 

6.5. Волновой перенос энергии и его характеристики: поток, плотность потока, интенсивность.

 

6.6. Фазовая и групповая скорости волн.

 

6.7. Интерференция упругих волн.

6.8. Стоячие волны.