Следствия из преобразований Лоренца

 

1) Относительность одновременности. Одновременность пространственно разделенных событий относительна. По определе-нию, два события, которые происходят в разных точках х1 и x2 сис-темы К, являются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени t1 = t2 ( t = 0) по часам, расположенным в


 

 


этих точках. При этом предполагается, что часы синхронизированы согласно определению Эйнштейна. В системе К' эти же события произойдут в точках с координатами x1′ и x2′ в моменты времени t1′

 

и t2′. Использовав преобразования Лоренца, покажем, что события,

 

одновременные в системе К, в системе К' будут происходить в раз-ные моменты времени. Воспользуемся преобразованиями Лоренца

 

(7.3.6)

 

            t1′ = t − x υ c2 и t2′ = t − x υ c2 .   (7.4.1)  
                  υ2    
                    υ2                    
                  1 − c2           1 − c2        
            t −( x − x )υ c2           ( x − x )υ c2    
      t ′ =           или t′ =   ≠ 0 . (7.4.2)  
              υ2            
              1 −                 1 − υ2    
              c2                 c    
                                       
a y                         Поэтому наблюдатели в сис-  
К       2υ = const теме К′ зафиксируют эти события  
                        как неодновременные t1′ ≠ t2′ . Спра-  
                         
            t1= t2           ведливо и обратное утверждение −  
                  x события,   одновременные в ИСО  
    x1(t1)   x2(t1)    
        К′, не одновременны в ИСО К. Это  
б y                       явление известно как относитель-  
К′   1 υ = 0       ность одновременности и возни-  
                        кает из-за ограниченности скоро-  
                         
                        сти распространения взаимодейст-  
  V =υ       t1= t2            
                вий.                    
                                     
  x1′ =const x2′ =const x′ 2) Сокращение длины движу-  
     
       
        Рис. 7.4.1           щихся тел. Длиной движущегося  
                        тела в некоторой системе отсчета,  

по определению, называется расстояние между двумя точками этой системы координат, с которыми совпадают начало и конец тела в один и тот же момент времени по часам, расположенным в этих же точках используемой системы (рис. 7.4.1). Это значит, что l = х2 − х1 , если t2 = t1 . В собственной системе отсчета К′, в которой рассматри-ваемый объект покоится, собственная длина тела, l0 = x2′ − x1′. Вос-

 

пользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.6).


 


x2′ = x2− υt2 , x1′ = x1− υt1     ⇒ l0 = x2′ − x1′ = x2− x1− υ(t 2− t1) ⇒  
           
  1 − υ2       1 − υ2           1 − υ2    
  c2       c             c2    
                               
        l =     l       ⇒ l = l 1− υ2 .   (7.4.3)  
                           
                υ 2   c2        
              1 −            
                  c2                

Соответственно, длина l линейки, измеренная в ИСО К, всегда меньше l0 − так называемой собственной длины, измеренной в системе покоя линейки К′. Это явление называется релятивистским сокраще-нием длин и помимо данного кинематического рассмотрения можетбыть выведено также и динамически из изменения сил, действующих между частицами вещества при его движении.

 

3) Интервал времени между двумя событиями. Собственным временем τ0 называется интервал времени между двумя события-ми, которые произошли в одной и той же точке собственной системы: отсчета, связанной с движущимся со скоростью υ объек-том. Это значит, что в системе К' время τ0 = t 2′ − t1′определяется при

 

условии, что x2′ = x1′, т. е. события происходя в одной и той же точке системы К', которая движется равномерно и прямолинейно с скоростью υ. С учетом сказанного из преобразования Лоренца следует

 

    ′ ′ 2 ′ ′ υ c 2 τ0      
τ= t − t = t 2 + x2 υ c − t1 + x1 = . (7.4.4)  
     
  υ2       υ 2   υ2    
                 
      1 − c 2     1 − c2   1 − c2    

7.5. Теорема сложения скоростей в СТО

 

Формула преобразования скоростей в СТО устанавливает связь между проекциями скорости точки в двух произвольных инерциаль-ных системах отсчета. Пусть в системах отсчета К и К' движение ма-териальной точки определяется координатным способом

 

x = x (t ), y = y (t ), z = z (t )и x′= x′( t ′), y′ = y ′( t ′), z′ = z′( t ′). (7.5.1)  
Тогда проекции скорости                  
υ x = dx , υ y = dy , υ z = dz и ′ dx′ ′ dy′ ′ dz′ . (7.5.2)  
dt dt dt υ x = dt′ , υ y = dt′ , υ z = dt′  
                 

 


Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.7) и продиффе-

 

ренцируем                                                                                        
  ′ +υdt ′                     ′                 ′             dt ′           ′ 2    
  dx                                                     + dx υ c      
dx =     υ 2     , dy = dy , dz = dz ,   dt =                 υ2 , (7.5.3)  
  1 − c 2                                                               1 − c2      
и получим                                                                                        
          dx                 ′ + υ dt ′                   ′ + υ                  
    υ x = =     dx           =       υ x         ,   (7.5.4)  
    dt   dt ′         ′ υ c               ′            
                  + dx           1 + υ x υ c                
                      dy ′       υ2               ′         υ2          
    υ y = dy =       1 − c 2         =   υ y 1 − c2   ,   (7.5.5)  
          ′                     ′        
          dt       dt + dx ′ υ c               υ c          
                                    1 +υ x              
                                        ′     1 −   υ2                        
                υ z =   dz =   υ z       c2                        
                                                .                     (7.5.6)  
                  dt             ′                              
                                1 + υ x υ c                            

Выражения (7.5.4−7.5.6) являются формулами преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета в другую (реляти-

 

вистский закон сложения скоростей).

 

Если аналогичные действия проделать с обратными преобразо-ваниями Лоренца в форме (7.3.6), то получим выражение для скоро-стей в системе К′ через скорости в системе К.

              υ y 1 − υ2       υ z 1 − υ2    
′     υ x − υ   ′   c2   ′   c2    
υ x =       , υ y =         , υ z =         .(7.5.7)  
− υ x υ c2 1 − υ x υ c2 1 − υ x υ c2