Волновая функция свободной частицы

 

Рассмотрим волновую функцию свободной микрочастицы, кото-рая имеет определенные значения импульса р и энергии Е, т. е. движется со скоростью υ, например, вдоль оси Ох (ру = рz = 0). Так как из опытов следует, что параллельный пучок элементарных частиц обладает свой-ствами плоской волны распространяющейся в направлении скорости частиц, то рассмотрим в общем виде плоскую волну распространяю-щуюся вдоль Ох. Запишем волновую функцию свободной частицы в комплексном виде по аналогии с уравнением плоской волны

 

Ψ = Ae − i ( ω t −kx) = A cos( ω t − kx ) − i sin( ω t − kx) . (8.6.1)

 

Преобразуем выражение (8.6.1), используя формулы взаимосвя-зи импульса р и энергии Е частицы (корпускулярных характеристик) с волновым числом k и циклической частотой ω (с волновыми характе-ристиками частицы)

 

          E = hν = h ω         ⇒ ω= 2 π E =   E , (8.6.2)  
          2π     h    
                                              h    
          k =2π=   2π   = 2πp   =     p .       (8.6.3)  
            h p            
          λ         h           h              
Подставим (8.6.2−8.6.3) в уравнение (8.6.1) и получим    
          Ψ = Ae − i (Et −px) ,                   (8.6.4)  
          h                    
                                     
где h = h − постоянная Планка.                                            
                                             
  2π                                                            
Представим уравнение (8.6.4) в виде                          
              i   px   − i Et     − i   Et              
          Ψ = Ae h e   =ψ e   ,       (8.6.5)  
                  h     h            
      i px                                                          
где ψ = Aeh − амплитудная часть   волновой функции, зависящая  
     


 

 


только от координаты.

 

Применим к ψ оператор Лапласа

 

  ∂ 2 ψ   ∂ 2 ψ   ∂ 2 ψ     ∂2     i px       i   2 i px    
                         
Δψ =     +         +     =       Ae h   = A     p   eh   =  
               
  ∂x     ∂y   ∂z     ∂x                          
                                    h              
    = − m 2 υ 2 ψ = − 2 m mυ2 ψ = − 2 m Kψ            
    h 2   h 2     h2            
                                               

и получим уравнение Шредингера для свободной частицы

 

Δψ + 2hm2 Kψ = 0 .


 

, (8.6.6)

 

(8.6.7)


 

Обобщим это уравнение для несвободной частицы, заменив кинетиче-скую энергию К на разность между полной энергией Е и потенциаль-ной энергией U:

Δψ + 2 m2 ( E − U )ψ = 0 , (8.6.8)
  h  

где U − потенциальная энергия частицы в стационарных потенциаль-ных силовых полях.

 

Уравнение (8.6.8) является стационарным уравнением Шредин-гера. Изложенные выше рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Однако они показывают, на примере свободной частицы, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.