Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа
В молекулярно-кинетической теории пользуются идеализиро-ванной моделью идеального газа, согласно которой:
1) собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению
с объемом сосуда, в котором находятся молекулы;
| Рис. 9.1.1 |
2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда являются абсолютно упругими;
4) время столкновения молекул друг с другом пренебрежимо мало по сравнению со временем свободного пробега молекул.
Рассмотрим экспериментальные законы, описывающие поведе-ние идеального газа:
p 1) закон Бойля-Мариотта: для данной
массы газа при постоянной температуре про-
изведение давления газа на его объем есть ве-
личина постоянная:
pV = const. (9.1.1)
V Процесс, протекающий при постоянной тем-пературе, называется изотермическим. Кри-вая, изображающая зависимость между пара-
метрами p и V, характеризующими состояние газа при постоянной температуре называется изотермой (рис. 9.1.1).
2) закон Гей − Люссака: объем данной V
массы газа при постоянном давлении изменя-ется линейно с температурой.
| V = V0(1 +αt)или | V = const , (9.1.2) | |||
| T | ||||
| где V0 − объем при 0°С; t − температура по | T | |||
| шкале Цельсия; α − коэффициент, равный α = | Рис. 9.1.2 | |||
= 273,151 К−1.
Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим. На диаграмме в координатах V, Т этот процесс изо-бражается прямой линией, называемой изобарой (рис. 9.1.2).
3) закон Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой.
| p = p0(1 +αt) | или | p | = const , | (9.1.3) | ||
| T | ||||||
| где p0 − давление при 0°С; t − температура по шкале Цельсия; | ||||||
| −1 | ||||||
| α − коэффициент, равный α = | К . | |||||
| 273,15 |
| Процесс, протекающий при постоянном | p | ||
| давлении, называется изохорическим. На диа- | |||
| грамме в координатах p, Т этом процессе изо- | |||
| бражается прямой линией, называемой изохо- | |||
| рой (рис. 9.1.3). | |||
| 4) закон Авогадро: моли любых газов | |||
| при одинаковых температуре и давлении за- | T | ||
| нимают одинаковые объемы. При нормаль- | Рис. 9.1.3 | ||
| ных условиях этот объем равен 22,41 · 10−3 |
м3/моль. В одном моле различных веществ содержится одно и тоже число молекул, равное постоянной Авогадро: NA = 6,02 · 1023 моль−1.
5) закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сум-
| ме парциальных давлений входящих в нее газов | |
| p = p1+ p2+ … + pn . | (9.1.4) |
Парциальное давление −давление,которое оказывал бы газ,входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.
Состояние некоторой массы газа определяется тремя термоди-намическими параметрами: давлением, объемом и температурой, ме-жду которыми существует связь, называемая уравнением состояния f (p, V, T) = 0,где каждая из переменных является функцией двух дру-гих. Французский физик и инженер Клапейрон, объединив законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей − Люссака , вывел уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона):для данной массы газа вели-
чина pV/T остается постоянной, т. е.
| pV | = const . | (9.1.5) | |
| T | |||
Менделеев Д. И. объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение Клапейрона к одному молю газа и ис-пользовав молярный объем Vm. Согласно закону Авогадро , при одина-ковых давлении и температуре, моли всех газов занимают одинаковый молярный объем, поэтому газовая постоянная будет одинаковой для всех газов. Эту общую для всех газов постоянную обозначили R = = 8,31 Дж/(кг · К) и назвали универсальной газовой постоянной. Таким образом, уравнение Клапейрона приобрело вид
| pVm | = R ⇒ pV = RT . | (9.1.6) | ||||
| T | m | |||||
Выражение (9.1.6) называют уравнением состояния идеального газа или уравнение Менделеева − Клапейрона.
От уравнения состояния идеального газа можно перейти к урав-
| нению для произвольной массы газа. Молярный объем равен | |
| Vm = V/ν, | (9.1.7) |
где ν = Mm − количество вещества; m − масса газа; М − молярная мас-
са газа.
Молярной массой называется масса1моля вещества,и она равна
| M = NA m0, | (9.1.8) | |||||
| где m0 − массы одной молекулы. | ||||||
| Таким образом, получаем | ||||||
| pV | = RT ⇒ pV = νRT ⇒ pV = | m | RT . | (9.1.9) | ||
| M | ||||||
| ν |
Пользуются также другой формой уравнения состояния идеаль-ного газа, вводя постоянную Больцмана k = R/NA = 1,38 · 10−23 Дж/К:
| pV =νRT ⇒ pV =νNA kT ⇒ pV = NkT | ⇒ | ||||||
| ⇒ p = | N | kT ⇒ p = nkT, | (9.1.10) | ||||
| V | |||||||
| где n = N/V − концентрации молекул газа. | |||||||
| Теперь рассмотрим идеальный газ и оп- | |||||||
| S | ределим давление газа на основе молекулярно- | ||||||
| r | кинетической теории. Представим себе, что | ||||||
| m υx | молекулы содержатся в прямоугольном сосуде, | ||||||
| грани которого имеют площадь S, а длина его | |||||||
| ребер равна l. Согласно этой модели, давление | |||||||
| газа на стенки сосуда обусловлено столкнове- | |||||||
| ниями молекул с ними. Рассмотрим стенку | |||||||
| l | x | площадью S с левой стороны сосуда и выясним, | |||||
| что происходит, когда одна молекула ударяется | |||||||
| Рис. 9.1.4 | об нее. Эта молекула действует на стенку, а | ||||||
стенка в свою очередь действует на молекулу с равной по величине и противоположной по направлению силой. Величина этой силы, со-гласно второму закону Ньютона, равна скорости изменения импульса молекулы, т. е.
| F = dp | = | p . | (9.1.11) |
| dt | t |
Так как столкновение является абсолютно упругим, то изменяется лишь составляющая импульса молекулы по оси Ox, т. е. от −m0υx до +m0υx . Таким образом, изменение импульса для одного столкновения равно
| p = m0υx −(−m0υx) = 2m0υx . | (9.1.12) |
Эта молекула будет много раз сталкиваться со стенкой, причем столк-новения будут происходить через промежуток времени, который тре-буется молекуле для того, чтобы пересечь сосуд и вернуться обратно,
| т. е. пройти расстояние 2l. Тогда 2l = υx | t,откуда | ||||||||||
| t = 2l/υx . | (9.1.13) | ||||||||||
| При этом средняя сила равна | |||||||||||
| p | 2 m υ | x | m υ2 | ||||||||
| F = | = | = | 0 x . | (9.1.14) | |||||||
| t | 2l | υx | |||||||||
| l |
Во время движения по сосуду туда и обратно молекула может сталкиваться с верхними и боковыми стенками сосуда, однако про-екция ее импульса на ось Ox при этом остается без изменения (т. к. удар абсолютно упругий). Чтобы вычислить силу , действующую со стороны всех молекул в сосуде, просуммируем вклады каждой из них.
| F = | m0 | (υ 2x1 + υ 2x2 + ..... + υ2xn ). | (9.1.15) | ||
| l | |||||
| Среднее значение квадрата υx равно | υ 2x = ( υ 2x1 + υ 2x2 | + .... + υ2xn ) N , | |||
| следовательно | |||||
| F = m0υ2x | N . | (9.1.16) | |||
| l |
Для любой скорости выполняется соотношение υ2 = υ 2x + υ 2y + υ2z , или
υ 2 = υ 2x + υ 2y + υ2z . Так как молекулы движутся хаотически, то все направления движения равноправные и υ2x = υ 2y = υ2z . Значит
| υ 2 = 3 υ2x | ⇒ | υ 2x = υ2 | 3 . | (9.1.17) | ||||||||||
| F = m0 | υ2x N | ⇒ | F = m0 | N | υ2 | . | (9.1.18) | |||||||
| l | l | |||||||||||||
| Давление на стенку сосуда примет вид | ||||||||||||||
| p = | F | = | m N | υ 2 | m N | υ2 | 1 m n υ2 | , (9.1.19) | ||||||
| = | ⇒ p = | |||||||||||||
| S | Sl | V |
где N/V = n − концентрации молекул газа. Выражение (9.1.19) является
основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Егоможно представить в следующем виде
| m | υ2 | ||||||||||
| p = | n | ⇒ p = | n εп , | (9.1.20) | |||||||
| m | υ2 | − среднее значение кинетической энергии поступа- | |||||||||
| где ε п = 0 | |||||||||||
| тельного движения одной молекулы. | |||||||||||
| Сравнивая выражение (9.1.20) с уравнением (9.1.10), получаем что | |||||||||||
| ε п = | 3 kT , | (9.1.21) | |||||||||
т. е. абсолютная температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.