Энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии
Понятие энергии в релятивистской механике сохраняет тот же смысл, что и в классической механике. Однако требование инвари-антности уравнений релятивистской механики относительно преобра-зований Лоренца приводит к установлению взаимосвязи между энер-гией E и массой т частицы, а также к изменению выражения для ее кинетической энергии К.
Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Изменение кинетической энер-гии материальной точки при элементарном перемещении drr равно
| работе, совершаемой силой F , действующей на точку, | при этом |
| перемещении | |
| d К= dA = Fdrr. | (7.8.1) |
Воспользуемся релятивистским выражением второго закона Нью-тона (7.7.1), и с учетом drr = υdt получаем
| v r | d | r | r | d | r | r | |||||||||||||||||||
| m υ | m υ | ||||||||||||||||||||||||
| dК= Fdr | = | dr | = | υdt | ⇒ | ||||||||||||||||||||
| dt | 1 − | υ 2 | dt | 1 − | υ2 | ||||||||||||||||||||
| c | c | ||||||||||||||||||||||||
| r | r | ||||||||||||||||||||||||
| m υ | |||||||||||||||||||||||||
| ⇒ | dК= υd | . | (7.8.2) | ||||||||||||||||||||||
| υ2 | |||||||||||||||||||||||||
| 1 − | |||||||||||||||||||||||||
| c | |||||||||||||||||||||||||
С 
учетом υr d υ=r d υ2 из выражения (7.8.2) получаем
| r | m | r | r | r | r | r | r | c | ) | ||||||||||||
| υ | m dυ | m0υ(υ d | υ | ||||||||||||||||||
| К = υ d | = υ | − | = | ||||||||||||||||||
| 2 | 2 | 3 2 | |||||||||||||||||||
| 1 − | υ | 1 − | υ | 1 − | υ | ||||||||||||||||
| c | c | c | |||||||||||||||||||
| m d | r | 1 − | υ2 | r | |||||||||||||||||||
| υ | c2 | c | ) | ||||||||||||||||||||
| r | m0(υ | d υ | |||||||||||||||||||||
| = υ | − | ||||||||||||||||||||||
| υ | 3 2 | υ | 3 2 | ||||||||||||||||||||
| − | − | ||||||||||||||||||||||
| c 2 | c 2 | ||||||||||||||||||||||
| m0 c 2 d (υ2 | c2) | m c2 | |||||||||||||||||||||
| = | = d | ||||||||||||||||||||||
| υ2 | 3 2 | υ2 | |||||||||||||||||||||
| − | 1 − | ||||||||||||||||||||||
| 1 | c2 | c | |||||||||||||||||||||
| r | m d | r | m0 d (υ | 2) | ||||||||||||||||||||||
| υ | ||||||||||||||||||||||||||
| = υ | = | = | ||||||||||||||||||||||||
| υ | 3 2 | υ | 3 2 | |||||||||||||||||||||||
| − | − | |||||||||||||||||||||||||
| c 2 | c2 | |||||||||||||||||||||||||
|
| ⇒ | m c2 | . (7.8.3) | |||||||||||||||||||||||
| d К= d | ||||||||||||||||||||||||||
| υ2 | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 − | ||||||||||||||||||||||||||
| c | ||||||||||||||||||||||||||
Интегрирование уравнения (7.8.3) приводит к выражению
| m c2 | + C , | |||
| К = | (7.8.4) | |||
| υ2 | ||||
| 1 − c2 |
где С – постоянная интегрирования.
Найдем постоянную интегрирования С. Для этого воспользуем-ся условием , что при υ = 0 кинетическая энергия К должна быть тоже равна нулю. С учетом этого из выражения (7.8.4) получаем C = −m0 c2.
Таким образом, релятивистское выражение для кинетической энер-
гии имеет вид
| m c2 | − m c | |||||||
| К = | . | (7.8.5) | ||||||
| υ2 | ||||||||
| 1 − c2 | ||||||||
| Величина | ||||||||
| E = | m c2 | = mc | ||||||
| (7.8.6) | ||||||||
| υ2 | ||||||||
| 1 − c2 |
называется полной энергией свободной частицы (при отсутствии внешних полей).
| Величина | |
| E0= m0 c2 | (7.8.7) |
называется энергией покоя (при υ = 0).
С учетом формул (7.8.6, 7.8.7) выражение для кинетической энергии (7.8.5) можно записать в виде
| К = E − E0 = mc2 − m0 c2. | (7.8.8) | ||||||||||||||||||||||||||
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||
| При υ << c, с учетом 1 − | υ 2 | −2 | = 1 + | 1 υ2 | +..., получаем выра- | ||||||||||||||||||||||
| c2 | 2 c2 | ||||||||||||||||||||||||||
| жение для кинетической энергии в классической механике | |||||||||||||||||||||||||||
| m c2 | 1 υ2 | m υ2 | |||||||||||||||||||||||||
| К = | − m c | = m c | − 1 | = m c | + | − 1 | = | . (7.8.9) | |||||||||||||||||||
| υ2 | υ2 | 2 c | |||||||||||||||||||||||||
| 1− | 1− | ||||||||||||||||||||||||||
| c | c | ||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской фор-муле (7.8.5), совпадает с выражением (7.8.9) для энергии в классиче-ской механике.
Из соотношения (7.8.6) следует также важный вывод: энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением его релятивистской массы и, наоборот, всякое изменение релятивистской массы сопровождается изменением энергии тела
| E = mc2. | (7.8.10) |
Это утверждение носит название закона взаимосвязи релятивистской массы и энергии.